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左右互搏---穿越与纠结的卷积 精选

已有 9703 次阅读 2012-6-15 13:35 |个人分类:随想|系统分类:教学心得| office, style, black, 左右, 穿越

左右互搏---穿越与纠结的卷积

鲍海飞 2012-6-15

 

偶然发现了一年前科网上有几篇文章在讨论卷积的问题,卷积里面似乎隐藏着不少的神秘。近日也研究了一段时间有关系统响应的问题,其中涉及到了卷积,而卷积就是处理系统响应的一种方式, 经研究发现,有一些体会,看看这里面都有哪些神秘之处?

先来看卷积的定义。卷积的定义就是两个函数乘积后的积分:$I(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau )d\tau$ 。一个函数的设为f(t),一般为‘外力’;另一个函数为g(t),一般为系统响应的函数,有权重之意。现在我们仔细来看一下里面的秘密。

 

神秘之一,$\tau $ 是什么?$\tau $ 其实是个时间变量,更确切地说,叫做‘哑元变量’或‘虚设变量’,在英语里称为dummy varible。因此,卷积公式中的左端I(t)不含有该变量。$\tau $ 是相互作用的时刻,可以不在‘0’点。

 

神秘之二,t-$\tau $ 又是什么?t也是一个时间变量,是系统一直在动(shifting)的时间变量。t-$\tau $ 则是隐含着一个系统的过去式,即系统有‘记忆效应’。函数g(t-$\tau $ )中就表明了过去的味道。

 

神秘之三,数学处理上为什么要采用一个函数滑过另外一个函数?这是一种图解、理解和处理方式。相当于一静一动两个函数在相互作用。有些人将上表达式中的g(t-$\tau $ )函数解释成,函数g(t)经过对y轴翻转(flip)(时间取反)变成了g(-t),然后加上平移量t(shift),最后变成了g(t-$\tau $ )。或者说,由于时间的移动,一个函数滑过(slide)另一个函数。在这里,我们看到数学的神奇之处,它让我们看到一个函数是如何穿越另外一个函数,从过去走向未来(预测一个系统的响应)!

 

为了解决系统的响应问题,卷积实际上是解决这个问题的一种非常有效的方法和途径。

比如,在一个二阶微分方程中:$m\frac{d^{^{2}}x}{dt^{2}}+c\frac{dx}{dt}+kx=f(t)$

该方程左边是一种质量-阻尼-弹簧二阶系统模型,其响应函数(其解)为g(t);而方程右端是外界作用,比如外力函数f(t)。这样,当外力作用到这个系统上的时候,我们就可以通过卷积直接积分就得到了系统的响应,而不需要再去解复杂的微分方程了。

显然,在卷积的方程中$I(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau))d\tau$ ,是包含了系统的响应函数与外界相互作用的乘积后的积分,是一个时间的累积过程,两个函数‘穿越纠结在一起’,是左右两端函数共同作用的结果。这恰好像金庸小说中所描写的老顽童,两只手能够左右互博,左手代表了系统响应,右手代表了外力的作用,两只手相‘拍’才能发出声响。所谓的卷积乃是‘一拍即合(乘积后积分)’、‘左右互搏‘之术。而响应函数g(t)是通过求解二阶微分方程的单位脉冲作用后得到的。

上述过程也可以简单理解为,当系统响应函数或权重函数在经历$\tau $时刻后,外力函数f($\tau $)和系统函数响应函数g(t-$\tau $)开始相互作用。它实际上是描述了一个系统的过去和未来。

 

卷积最奇妙之处,是它和Laplace积分变换之间的关系。这是它的第四个神秘之处!Laplace积分变换是工程数学处理的一种最主要的运算方式,其包括了两个函数的相互作用(两个函数乘积后再积分)。对于两个函数及其拉氏积分变换后,设F(s)=L[f(t)],G(s)=L[g(t)],那么,L-1[F(s)G(s)]=$\int_{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau $  。原来拉氏变换在这里和卷积是殊途同归!这真是数学的魅力!

 

英语里面converlution的含义中就有‘皱褶’之含义,就好像衣服上产生好多‘褶’,叠压在一起。在卷积的定义中,隐含着一个问题是,$\tau $+(t-$\tau $)=t,即在这个t的时间内两个函数之间的全部相互作用。也许‘卷积’叫‘叠积’可能更好。

卷积有许多重要的应用,除了进行分析系统的响应之外,比如在股票趋势分析判断上的光滑曲线处理,在图像处理中,对图像进行均匀处理;在数字信号处理中,卷积的一个作用是对数据进行平滑处理,和相关处理方法类似。

 

附录:

曹广福:大话卷积,http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-425602.html

吴中详:卷积卷不卷,http://blog.sciencenet.cn/blog-226-428153.html



大话卷积
https://blog.sciencenet.cn/blog-278905-582429.html

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