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高斯与复平面 高斯整数和高斯素数

已有 11142 次阅读 2011-5-16 13:33 |个人分类:科学八卦|系统分类:科研笔记| 虚数, 素数, 复数, 复平面, 高斯

 
“能够用圆规和没有刻度的直尺作图绘出的正多边形只有正三角形和正五边形”,
这是古希腊数学家的一种常识。在2000多年里,多少人反复尝试,都希望能够有所突破。
结果是一位18岁的青年获得了成功,他就是后来的大数学家高斯,
他给出了可用尺规作图的正多边形的条件。
 
1、i、-1和-i 这四个数的四次方都等于1,换句话说,这四个数都是“1的四次方根”。
在复平面上将这四个点用直线连接起来,便得到一个正方形。
事实上,在复平面上绘出一个以原点为中心,有一个顶点位置为1的正n边形
那么,这个正n边形的各个顶点便必定都是“1的n次方根”
上述正四边形不过是一个例子而已。
 
18岁的高斯,利用他已经想到的复平面的性质,证明了只使用圆规和没有刻度的直尺可以作图绘出正17边形。紧接着在1797年,高斯又证明了,利用圆规和无刻度直尺还可以绘出正257边形和正65537边形。根据高斯的日记,正是这一发现,促使他决心一生都从事数学研究。
 
两年后的1799年,高斯证明了一个被称为“代数的基本定理”的重要定理。根据这个定理,
像“x^2 = -4”一类没有实数解的方程在复数范围内则一定有解。
这个结论并不限于二次方程,即使四次方程,甚至100次方程,任何方程只要在复数范围内都必定有解。
这样,高斯就证明了,复数已经完成了数王国的扩张,再也没有继续扩充概念的必要了
 
能通过作图绘出“正17边形”?
 
 
 
高斯整数和高斯素数
 
高斯还进行过将整数和素数等概念推广到复数世界的研究。
实数部分(实部)和虚数部分(虚部)都是整数的复数叫做“高斯整数”。
高斯整数中不能表示为其他两个高斯整数之积的,叫做“高斯素数”。
例如“13”是素数,但是它在复数世界却不是素数(不是高斯素数)
因为13=(2+3i)×(2-3i),即可以表示为两个高斯正数之积。
在这种“推广的正数和素数”世界得到定理,对于实数的正数和素数也成立。
 
 
高斯素数的分布
 
高斯素数在复平面上具有以原点为中心,形成独特辐射状花样的分布
 
想要破解“哥德巴赫猜想”之谜的朋友可要注意了,
在高斯平面,高斯素数的分布看来是有对称规律可循的,
它可是“1的四次方根”型的对称分布喔,O(∩_∩)O~。
 
比如,下面【二傻】的新logo,...
 
 
举报[255]wanglaow  2011-5-13 13:48
二傻兄,你新换的头像让我眼晕 -- 我这人有较强的强迫症。
 
举报[254]zlyang  2011-5-10 11:35
深奥的新logo!
 
举报[252]赵国求  2011-5-7 07:28
"小图出现了对称性【4】",中间好象还有个"点"耶!
 
举报[251]赵国求  2011-5-7 07:18
大图是对称性【3】,为何小图出现了对称性【4】了呢?奇怪!
.是微观的再放大?  四维展示?  天意!
 
举报[250]赵国求  2011-5-6 17:28
鲍得海:你新图案极类似量子伴生空间的物质波! 外部物理空间的质点如何与其对应想过吗?
博主回复(2011-5-6 21:45)这个。。。
大图是对称性【3】,为何小图出现了对称性【4】了呢?奇怪!
 
举报[249]zlyang  2011-4-19 16:59
新logo?
博主回复(2011-5-6 21:47)在小LOGO中看见【铁十字架】了吗?它是如何出现的涅?
 
举报[246]隔壁家的二傻子  2011-4-17 23:20
【1+1 = 2 * (322 + 11:11)= 666】
 
举报[245]隔壁家的二傻子  2011-4-17 13:49
最近练习萨满,出问题了!搞不明白【1+1】= ?   
 
 
 
 
 
 


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