蛋壳没有显著的接触变形，难以在坚硬平面上直立；但依赖两三个细小盐粒的辅助支承即可实现大端直立。潜体在重力、浮力和支承力作用下处于稳定平衡时势能达到极小值。

鸡蛋的直立及潜体的平衡

尤 明 庆

（河南理工大学 能源科学与工程学院，河南 焦作 454010）

1   竖鸡蛋

某些地方风俗因电视和网络推动在国内得到了普及，如立春或春分竖蛋就有许多文章、照片和视频。竖蛋牵涉到刚体的稳定问题，文[1]特别予以介绍，称“实际的鸡蛋壳表面并不光滑，粗糙的尖端存在许多突起的小点与桌面接触，这些接触点围成一个很小的区域。鸡蛋的重力只要不越出这个小区域就能直立不倒”，与Wikipedia所述类似[2]。

不过，肉眼或小倍放大镜下看，蛋壳表面并无突起；而单凭“足够耐心”也不足以竖直鸡蛋，至少还需手指极端敏感。这些只要亲手一试，就能知道。网上有小学生的相关作文，都是没有成功[3, 4]；笔者和家人也曾多次尝试，未能成功。

刚体以表面一点稳定支承的条件是，支承点处法线通过质心，而曲率半径大于质心高度；或称质心高度、质心与支承点距离达到极小值[5]。考虑轴对称性，鸡蛋有4个平衡位置；其中对称轴两端点不稳定的。蛋壳具有一定刚度，不会产生显著的接触变形以增大支承面积。

当然，地面、刀板上微小凹坑或桌布变形，鸡蛋能够以大端直立；wikihow 所说“Make a small mound of salt on a hard, smooth, level surface；carefully balance the egg on top of the salt, then gently blow the excess salt away”[6] 也确实可行。试验表明，只要竖直鸡蛋，轻轻前推，受阻即止，尺度不足 0.5 mm 的两三个盐粒即可实现鸡蛋的大端直立作为参考，若鸡蛋大端曲率半径15 mm，0.3 和0.1 mm的高度所提供的支承距离分别为3 和1.7 mm，可以维持鸡蛋的稳定。又，盐粒尺度较小且硬度较高，因接触应力而粘连嵌入蛋壳，并不显眼，从而竖蛋可重复进行，且颇为容易。不过，这无疑是作弊行为。 

鸡蛋大端的气腔因薄膜而大致固定，其体积随储存时间而增加，可以手电或蜡烛等小光源检查（candling）。因而吃蛋时该先敲大端似乎是合理的习惯，《格列佛游记》中小人国就此发生争论乃至战争。气腔使鸡蛋的重心偏离大端，从而更难以在平面上直立。笔者觉得，经水洗、干燥后的鸡蛋，似乎不能直立在干净玻璃、抛光石材或较好木桌的表面上。显然，不稳定的平衡位置难以真实出现。

2 水中竖鸡蛋

好蛋比重大于1，在水中不能浮起，需要容器底面的支撑力才能平衡。鸡蛋的重心与浮心都在对称轴上，但并不重合：浮心比重心更靠近大端。

若以大端支承，鸡蛋稍偏离竖直位置之后，因重心在上，且重力大于浮力，必然继续偏离。显然，以大端支承不是稳定平衡。

以小端支撑，浮心B在上、重心W在下，均高于小端的曲率中小C。记浮心、重心W至小端距离为L_B和 L_W，小端曲率半径为r。若支承点P微小扰动偏离，轴线与竖直方向夹角为δ，而法线仍通过曲率中心C(图1)，则鸡蛋稳定平衡的条件是存在回复力矩：

 这等价于浮力与重力的合力作用点距小端距离小于 r。试验表明，水对鸡蛋的浮力不能满足公式(2)，实际稳定平衡位置如图2所示，轴线与水平面的倾角θ约为30°，小端在下。浮力F_B和重力F_W关于支承点P力矩平衡，

若鸡蛋从从平衡位置发生微小变动，轴线与水平面的夹角变化dθ；为图面简洁起见，图2 中将水平线转置‑dθ而保持鸡蛋位置不变。扰动后的支承点处法线同样通过曲率中心C，其在轴线上截距产生dS的改变；而浮力和重力的力臂将同等减小cosθdS。因重力大于浮力，重力矩减少多于浮力矩的减少，引起回复力矩。 

依据上述分析可以知道，公式(3) 计算的力矩M随倾角θ增大而减小（逆时针为正）。浮力较大时，力矩M较大，稳定平衡位置的倾角较大；当浮力满足公式(2) 之后，稳定平衡倾角增大到90°，即鸡蛋的小端。

加入食盐可增加水的比重，从而增加浮力，鸡蛋稳定平衡的倾角将增大。鸡蛋没有完全浮起也可以处于竖直状态，大端在上。农村晒酱时以鸡蛋在盐水中的姿态判断其浓度；不过，鸡蛋之间存在差异，其可靠性值得怀疑。

3 潜体的平衡

点O 为浮心、重心连线与支承面的交点，记图中距离OW=l_W，OB=l_B，l_W和l_B的改变量相同，记为dl。支承面为势能零线，势能    

由于M随倾角θ 增大而减小，上式总是非负。因而力矩平衡的条件就是势能达到极值；稳定平衡就是势能极小值。上述推理过程并不需要轴对称的条件，完全可应用于一般刚体。 

4 结语

鸡蛋大端存在气腔，壳体较硬没有显著的接触变形，因而干净鸡蛋难以在坚硬平面上直立；不过，依赖两三个尺度小于 0.5 mm盐粒的辅助支承即可实现大端直立。

刚体固定于一点，质心在悬挂点下方时稳定平衡，势能最小；刚体位于支承面之上，势能极小时稳定平衡，等价于重心与支承点的距离达到极小值[5]。

浮体的浮心高于重心，与刚体悬挂类似；浮心低于重心，浮心曲线相当于刚体的轮廓线，稳心相当于曲率中心，达到稳定平衡时，重力和浮力构成的势能极小或重心与浮心的距离极小[7]。浮心就是支承点。

潜体的稳定平衡条件也是势能达到极小值。 

1  刘延柱. 立春时节话竖蛋[J]. 力学与实践, 2013, 35(1)：97-98

2  http://en.wikipedia.org/wiki/Egg_of_Li_Chun

3  http://epaper.cnxz.com.cn/pcwb/html/2011-07/02/content_564813.htm

4  http://www.dysyxx.net/webs/class/default/articleRead.aspx?ID=15870

5  刘延柱. 不倒翁、乌龟翻身和冈布茨[J]. 力学与实践, 2010, 32(2)：147-149

6  http://www.wikihow.com/Balance-an-Egg

7  谢建华. 关于浮体的平衡与稳定[J]. 力学与实践, 2010, 32(5)：77-80

拙稿11681_O.doc 于2013年2月26日投稿《力学与实践》，于3月20日提交修改稿，但最终未能采用。

补记: 2013年9月初得到一批咸蛋，想待其稍稍老化再拍照片，而后修改文章；可惜，10月24日之后陷入与勾攀峰先生的争执，直至2014年5月25日方才想起——许多咸蛋已经半空。昨晚 8 时贴出博文，竟不知有此照片，半夜方才想起；而相机失电，晨 6时许方取出照片，添入文后。而博文因编辑 MM 精选，点击已过400；诚可叹也。