制造工具是非常重要的事情；而基于事物的根本特征得到的判别准则，将成为相关研究的有力工具。前篇博文说了尺度具有政权属性，故而器物适用商尺19.7 cm 还是周尺21.5 cm 可以判断年代。类似的事例很多，如基于三线共点的根本属性得到的塞瓦 (1648-1734) 定理。

1   三角形三边的垂直平分线交于外心O： AB 和AC 垂直平分线交于O，有 OA = OB 和OA = OC，故而OB = OC，即点O 在BC 的垂直平分线上。

三角形三边的中线交于重心M： AB 和AC 中线交于M, 两中点连线平行且等于BC 边之半，故而M 分中线为1：2；BC与AB 之中线的交点也分中线为1：2，交点相同。

三角形三边的高交于垂心H的证明有多种，最巧妙的方法或许是：连接外心O 和重心M，延长交高AE 于H；因OD与AH 皆垂直于BC 而平行，ΔAMH∽ΔDMO，MH = 2 OM， 即OM 延长2 倍的点H在高AE上，当然也在另外两条高上——三高共点于垂心H，而OMH 称为欧拉线。顺便说一句，AH中点P ，PD与OH的交点N称为九心：三角形的边中点、垂足以及顶点至垂心之中点的九点共圆，其直径PD等于外接圆之半径OA。

三角形的角平分线交于内心I 是容易证明的：角B、角C的平分线交于I，作到三边的垂线IX、IY、IZ；因IZ = IX，IX = IY，所以IZ = IY ，即I也在角A的平分线上。现在的题目是：证明 AX、BY 和CZ 三线共点。

倘若试了许多方法未能解决，您一定会想到， 下图中AQ交于BC 的点X 应该由点Y 和Z 确定。点X 的位置取决于BX 与XC 的比值，即顶点B和C到AQ距离的比值，等于ΔQAB与ΔQAC 面积的比值。问题并不复杂啊：与顶点连线相交于一点Q的点XYZ ，分三角形边之比值的乘积为1。逆命题同样成立(点Q 在三角形外的情形不再作图说明)。这就是三线共点的塞瓦定理。 容易证明，内切圆以及旁切圆的三个切点与顶点连线共点，而三个旁切圆与三边的切点X_A、Y_B、Z_C分别与顶点ABC连线也是共点。早生五百年就能留名于世啊，或许您也有这等感叹。顺便说一句，内切圆、旁切圆的四个圆心，两两连线之六个中点在三角形的外接圆上( IC⊥ CI_B ，内心 I 为旁心构成的三角形之垂心)。

三角形的三边向外作正三角，其顶点与三角形顶点连线共点即费马点。有了塞瓦定理，条件可以放宽至向外或向内作相似等腰三角形——工具比技巧更为有力。

[1]   张昌平. 商周之际的凤鸟纹卣——从孝民屯到石鼓山. 考古与文物, 2019,(4):72-79

[2]   刘军社, 王占奎, 辛怡华, 等. 陕西宝鸡石鼓山西周墓葬发掘简报. 文物, 2013,(2):4-54

[3]   王占奎, 丁岩, 刘军社,  等. 陕西宝鸡石鼓山商周墓地M4发掘简报. 文物, 2016,(1):4-52

2    殷墟孝民屯出土凤鸟纹陶范，文[1] 试图论证武王灭纣之后铸铜作坊仍为远在关中地区的西周贵族服务，但证据链似不够坚实：6块陶范或许属于1929年宝鸡戴家湾出土、现藏美国的提梁凤鸟纹卣，而仅与没有提梁的宝鸡石鼓山M3 户卣近似；发掘者最初称M3西周墓，但M4已改称商周墓；M3 墓主尚无定论，尽管铭文“户”的器物略多、摆放位置居中；而“纹饰夸张的风格大约可以作为辨识商与周青铜器年代的一个依据” 更需谨慎：随州羊子山M4出土“挥洒张扬”的噩仲方鼎，通高35.4、口长25.6、口宽19.9 cm，适用商尺19.7 cm：通高一尺八寸欠0.6 mm，口长一尺三寸欠0.1 mm，口宽一尺过2.0 mm。

从墓穴和葬器可以判断石鼓山M3和M4 都是西周墓，如墓穴长4.3 m 和4.28 m就是周尺21.5 cm 的二十尺。有族徽或日名的商式铜器，均制作精良且适用周尺，意味着武王灭纣之后殷商族属使用周尺制作礼器助葬，以表明对周朝的臣服。两件户卣(M3:20, 23)以及户彝(M3:24) 都是适用周尺，后者通高63.7，口长35.4、宽23.5，圈足长24.5、宽21.5 cm。在长度方向的线条图中标出个别位置的周寸数值，括号内为宽度。 

宝鸡石鼓山的商式铜器是否范铸于殷墟孝民屯作坊难以确定；不过，有适用周尺21.5 cm的商式铜器出土于安阳附近，故宫博物院藏兽面纹大钺，高34.3、宽36.5 cm。馆藏介绍归入“商代后期”，但以周尺21.5 cm 计算，则高一尺六寸欠1.0 mm，而刃宽一尺七寸欠0.5 mm。据此猜测武王灭纣之后、至少在周公平乱之前，殷商的铸铜作坊没有废弃，但逐渐消亡可以预期。

从石鼓山青铜器的尺度探讨商周关系 https://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1275183.html

石鼓山墓葬的尺度和族属 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1299894.html

3      基于事物的根本属性建立判别准则，或许是难逢的机遇；而运用这些准则只需几次练习即可。