给博士研究生讲36学时《岩石力学》，因人数较少且有笔记本电脑和投影仪，也就适当展开。近几年第一次课讨论：(1) 非线性和不确定性；(2) 一分为三的观点；(3) 试验方案。 

1     系统的非线性特征需要具体分析而不能简单内插，外推更要谨慎。温度 15°C时，空气的声速为 340 m/s，水中波速为1470 m/s；而水中含有体积1%的细微气泡后波速仅为102 m/s。让同学猜测，似乎没人能给出大致准确的答案。利用简单的计算就能说清楚呢。

参见博文： 非线性哪能想当然呢 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-750155.html 

确定性是自然而然的观念，但现实并不总是如此。35年前学习《非线性力学》，朱照宣老师用粉笔在黑板上介绍 y_n+1 = λy_n (1– y_n)  的迭代，现在可用EXCEL 直接展示。上课时说，大家回去对照非线性力学的书籍实际计算，看看选择不同系统参数0 < λ ≤ 4 迭代， 体会周期解和混沌的含义以及系统状态的不可预测性。 

因 0 < λ ≤ 4，可在 [0, 1] 内进行y_n+1 = λy_n (1– y_n) 迭代，其不动点为0 和 1– 1/λ。初值0和1 迭代值为0，其他初值的迭代与参数 λ 相关，略述如下。

(a)   0 < λ ≤ 1，收敛于0；1 ≤ λ ≤ 3，收敛于1– 1/λ ；更大 λ，两个不动点都不稳定。

(b)   3 ≤ λ ≤ 1+sqrt(6)，有周期2解，即迭代趋于两个数值 ( λ+1 ± sqrt((λ–3)(λ+1)) ) / (2λ)，如λ = 3.2，趋于 0.513 045…和 0.799 455…；此后有周期4、周期8等等，λ = 3.5 时迭代结果是 4个数 0.382 820…、0.826 941…、0.500 884…和0.874 997…的循环。

(c)    λ* = 3.569 945 672… 迭代趋于周期2^∞解，也就是没有周期、没有稳态解啦。

(d)   其后即λ*≤ λ≤ 4 系统特征更为复杂，如1+sqrt(8) ≤ λ < 3.856 800 652…  之间称为窗口3，先有周期3解，然后周期6、周期12等等，如λ =3.83 时迭代结果是3个数0.156 149…、0.504 666…和0.957 417… 的循环。

(e)   窗口有无限个，且每个窗口之中又包含无限的窗口，只是尺度越来越小而已。

(f)    y_n+1 = 4y_n (1– y_n)  存在各种周期解，但都不稳定；初值的信息在迭代过程中很快消失，系统呈现不可预测的混沌状态。如下表所示，0.200001与0.2 的差距，相当于2 m之上添加了0.01 mm，头发直径的十分之一，但18次迭代就不能看出两者相关。 

(g)    测试数据的精度通常不足千分之一，以其作为初始条件迭代10次的结果可信吗？更进一步说，我们能够进行长期预测吗？y_n+1 = 4y_n (1– y_n)  仅是一个简单的非线性公式啊。 

2     偶然读到2005-05-22《解放日报》刊登的“庞朴．从一分为三谈中国人的智慧”，随后购买“庞朴．一分为三论. 上海古籍出版社，2003”，并从CNKI 下载文章，写出“‘一分为三’的学习体会”，已分节帖到博客。上课时仅介绍“等为轻重之分隔，灰有黑白之限界” 以及 “事有三因、策分三等”。

 介绍“12小球问题”时，说应从一次称等开始考虑，说有无标准球的区别，说解决12个小球之后所作推论；提醒“可能”或“肯定”有一个异常小球、“找出异常小球”与“找出并确定其轻重”之间的差异，等等。

说黑白之间有着广阔的灰色，黑白是质的差异，灰则有量的不同；白炽灯有开着、关着和开后又关的三种状态，而后者温度与开关的时间相关，类似于灰色。

岩石力学真是非常复杂，数值模拟或试验研究时最好不要预定结果，简单地将所做工作归于成功或失败。一分为三的观点或许有助于应对可能出现的困境。 

3     试验研究有时会受到时间、经费乃至样品数量的制约，需设计恰当的方案以达到预想的目标。读硕士研究时曾选修“正交试验法”课程，可自己从没用过。

说要看试验规程，不同部门的岩石力学试验规程略有不同，如水利和煤炭的规程对试样端部不平整度要求不同，……；说单轴压缩至少重复3次，三轴压缩至少5级围压，否则难以准确理解岩石强度，投稿论文或许受到审稿人质疑；说确定试验计划时要留足备用试样，以防突然停电等意外以及整理数据或审稿意见所引起的补充试验，等等。

课上也说“小白鼠找毒液”问题：32瓶中31瓶为水，1瓶为无色无嗅的毒液，小白鼠食入微量后4小时内死亡。可将瓶子用二进制的5位数编号 00000、00001、00010、……11110、11111; 每位数中含有1 的16瓶液体相混，给5个可怜的小白鼠服入，依据其4小时后死亡与否确定毒品编号。倘若许用时间为8小时，则可从3^5 即243瓶中找到唯一毒品：将瓶子用三进制编号，将各位数中有1的81瓶相混让5个小白鼠食入，4小时后存活者再服食该组编号为2的混合液，……。

上述方案没有考虑毒液稀释后的效用。下面的问题则牵涉到数据精度。

钢珠标准质量10 g。若5天中可能有一天的产品为 9 g，则从各天产品中分别取出1~5 个，总计15个的质量与标准值150 g的差异即可确定次品来源。这是通常的智力题。假如可能有多天出现次品，则依次取出1、2、4、8、16个钢珠，总计31个钢珠的质量低于标准值的数值如18 g 写成二进制数 10010，则第2、5天的钢珠为次品。

问题还可以继续推广。若多天产出次品 9 g 或11 g，则依次取3^0 ~ 3^4 个钢珠，总计121 个重量超过 9*121 g 的数值如129 g写成 三进制数 11210，则第1天钢珠为9 g，第三天为 11 g。

不过，如此称重真能实现吗？第5天的钢珠 10 g 只是公称值，真量总是有些偏差；同批生产偏差相同，若为千分之一则81个钢珠的总偏差达到±1 g，影响对钢珠质量的判断。就此而言，一次称重判断5天钢珠质量并不可行，也完全没有必要。称重5次并不费时费事啊！

附：数字和单位( 已删除原第1节和4节）

2    英文 "John gave a knife to Derek." 译成“张三给李四一刀” 和 “张三给李四一把刀”，有无量词则含义完全不同；“宅边有五柳树，因以为号焉”，已省略了量词 棵。至于“五台山、九华山、九里山以及三叶草”这些含有数量词的专名，其含义更为复杂，笔者没有能力细说。

“单位”除了表示工作部门之外，还作为物理量如长度、时间、质量等的量词通称。力学上说“梁的宽度为单位长度”，实际上是说长度为 1 单位量。上课时介绍胡克定律之前会先说力，顺便介绍 单位的符号。下面是实际使用的一张PPT，逐段地缓慢显示也就类似于板书啦。

 

说力的单位来自于牛顿第二定律，显示生卒年后只说“牛顿出生的次年，崇祯皇帝自杀、明朝灭亡”，但不介绍生年有不同说法。过去还说牛顿是遗腹子、没有结婚等，现在不说啦。

说 200 毫克就是 1 克拉，说人从地面跳起时作用力峰值约为 3mg即自重的3倍；说数字与单位符号相当于英文单词，因而两者之间要空格，但相乘的数字和参量则不要空格，等等。

最后说新校区3000亩，就是200 公顷，2 平方公里；说 hm 最好加括号后再平方，不然可能产生误解；说过去的地主有一顷地，现在得称为一市顷，那是 100 亩地呢。上课时会强调度量衡随时间、地域有所变化，但不具体解说。以下是从《辞海》2009年彩图版1838页和0721页复制。公亩 这个单位似乎没有得到实际应用，而公顷和亩在国内同时使用，《辞海》最好应给出两者的换算。

 

3   讲岩石力学实验时也说“数据的真实性、可靠性、准确性及精度”。我觉得，现在需特别注意数据的有效数字。有人给出的公路弯道外侧超高数值以 m 为单位而保留小数7位，实在没有必要。就笔者所知，试验设备的测量精度通常在1‰的量级，因而数据一般可取4位数字；昔日《常用数学用表》也多是4位数，人的身高精确到 mm也是4位数，体重则一天之内可变化2% 精度更低，等等。又，若取重力加速度为 9.8 m/s^2，计算单摆周期就没有必要将圆周率取到小数点后7位，所得结果保留4位数字就足够了。

相关讨论烦请参见拙稿：间接测量质量试验的可靠性及数据精度. 力学与实践, 2017, 39(2): 205-207. 写作时发现“Olenick RP, Apostol TM, Goodstein DL. 力学世界. 李椿，陶如玉译. 北京：北京大学出版社, 2002. 163”将电子电荷量  –(1.603±0.002)×10^-19 C 误印为 –9 次幂。原英文版正确无误。阅读文献时对数字的可靠性需要额外留神呢。

4   一个量的数值取决于其采用的单位，称为有量纲量，否则称为无量纲量；如圆周长和直径都是有量纲量，而两者比值即圆周率则是无量纲量。力学量由长度、质量和时间的3种量纲构成。力学公式的等号两边必然有相同的量纲，相关分析在大学可以单独设课。笔者在讲授岩土力学时通常以单摆的振动周期和直圆管的沿程阻力损失为例进行“科普”，有15分钟也就能说清楚。

影响单摆周期T的系统参数有摆长L，摆锤质量m，振幅θ₀，及重力加速度g ——在地球和月球上振动时周期当然会不同。参数m之外其它参数都不含有质量量纲，因而m不可能出现在等式右侧，即不会对周期产生影响。周期是时间量纲，sqrt(L/g) 可以消去长度量纲而得到时间量纲。通过量纲分析就确定了m、L 和g 对周期的影响规律；而振幅θ₀是无量纲的，其对周期的影响规律可通过试验确定，θ₀较小时 f(θ₀ ) = 2π。

 

流体具有粘性，因而在水平直管中流动时压力(强)会逐步降低。压力是单位面积的作用力，其量纲与流体单位体积动能的量纲相同；沿程阻力与流经长度成正比，因而阻力系数λ仅与无量纲量即雷诺数  Re =ρVD/μ 和相对粗糙度 δ/D 相关。该结果价值巨大。设计石油或天然气输送管道时，可以在室内对小直径管道以水作为流动介质，在雷诺数和相对粗糙度相同下进行相似试验，即将原6个参数缩减到2个无量纲量，且实际应用的参数范围内，λ 完全由相对粗糙度决定，通常取值 0.010 ~ 0.020。输送额定流量Q 的流体，平均流速V与管径D的平方成反比，因而沿程阻力损失将与管径的5次方成反比。这就是说，若管径减小为设计值的85%，则压力损失增大为2.25倍，即泵站工作压力需要相应增加。

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