文[1] 提出均匀细杆置于光滑圆锥曲线内壁的稳定平衡问题，并在直角坐标系中分析了双曲线情形。细杆一端直立于曲线顶点是不稳定平衡；而两端支承于壁面在重心高度达到极小值时稳定平衡；据此可利用中学数学知识给出统一说明，并确定细杆稳定平衡时重心轨迹[2]。

圆锥曲线是距焦点和准线的距离比值，即离心率e为常数的轨迹(图1)，有椭圆(0 < e <1)、抛物线( e = 1)、双曲线(1< e )。e= 0为圆，准线在无限远；除此之外，记

焦点与准线间距离为p，极点为焦点P，角度θ从竖轴起算、顺时针为正，则极距r =ep/(1–e cosθ) 随θ增加至π而单调减小。θ=π/2，r =ep；θ=π 即顶点处r =ep/(1+e)；而顶点距准线 p/(1+e)。

与竖直线夹角θ、过焦点P的弦长L和中点M的极距分别为

细杆只要长度L大于2ep就可通过焦点。细杆中点M距准线的距离为 (PA+PB)/ 2e；因三角形两边之和PA+PB大于第三边L，知道细杆通过焦点时重心最低，也就是稳定的平衡位置(图2中红色线段)，而水平放置是不稳定平衡。

相应的重心轨迹即式(2)为离心率e相同的圆锥曲线，只是顶点移动至原曲线焦点且焦距变为ep/2。这些都是是中学数学啊。

细杆长度小于2ep则不能通过焦点，可以说明水平状态为唯一的平衡位置，即细杆重心在对称轴上。

下面以抛物线x²=2py为例，具体说明细杆重心轨迹及稳定平衡集。长L的细杆AB ，两端坐标满足

基于式(6) 绘出不同长度L细杆的重心轨迹(图3)。随着细杆长度的变短，重心轨迹极大值和极小值差异减小，在L=2p时即细杆水平通过焦点时三个极值点重合而成为单一最小值。

又，L<2p时右端式(6) 第一项大于1而第二项小于1，将在参数边界即x_M=0达到最小值；否侧因两项乘积为常数而相等时达到极小值，有

 稳定平衡的重心轨迹为顶点在原抛物线焦点、焦距为p/2的抛物线以及 0~0.5p间对称轴；其上对称轴为不稳定平衡集。

稳定平衡集在焦点处发生杈式分叉，即pitchfork bifurcation。

从图3看到，细杆较短可在光滑圆锥曲线内水平地稳定平衡；而其较长则要通过焦点而斜靠在壁面才能稳定——平正而居重心高呢。 

1   徐 康. 圆锥曲线的静力学性质. 力学与实践，2014, 36(5)：639-641

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract144681.shtml

2   尤明庆. 均匀细杆在光滑圆锥曲线壁内的稳定平衡分析. 力学与实践, 2016, 38(2): 186-188 

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract145119.shtml