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Chapter 1 蒙特卡罗与拟蒙特卡洛方法
蒙特卡罗方法简介及其在数值积分中的应用
1.1 intro
考虑一个s维数值积分问题。当s=1时,可以使用梯形法则或Simpson公式等方法进行传统的数值积分计算。以梯形法则为例,对一个一维函数在[0,1]区间内积分,可以用以下公式表示:
(1.1) $\int_{0}^{1}f\left ( u \right )du\approx \sum_{n=0}^{m}\omega _{n}f\left ( \frac{n}{m} \right )$
其中,m是正整数, $\omega_ {n}$ 为加权系数,并满足以下关系
$\omega _{n}=\left\{\begin{matrix}
1/2m,\ when\ n=0\ or\ n=m\\
1/m,\ when\ 1\leq n\leq m-1
\end{matrix}\right.$
当被积函数在[0,1]区间内有连续二阶导时,这种估计方法的误差与 $m^{-2}$ 成正比( $O(m^{-2})$ )。
当维数大于1时,传统的数值积分方法可以利用一维积分法则的笛卡尔积进行扩展。
(未完待续)
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