说不清的量子

在量子纠缠，量子计算，量子通讯，……，等词汇充满媒体的时代，量子已经是一个人所尽知的词汇。但是，如果你问一个人，什么是量子？一般人都无法回答。问题在于，不只是一般人说不清楚量子是什么。即使你问一个研究量子的专业人士，他可能说出很多话来，但是你还是不懂。你不用感到自卑，这不是你的问题。

早在十几年前，北大理论物理研究所招研究生面试的时候，作为面试老师，我就问过很多考生这个问题。考生们对量子力学的各种计算比较熟悉，但听到这个问题，大多数张口结舌，不知道如何回答。即使能说几句，也语焉不详，如果我顺着他们说的再问，就很难自圆其说了。

不只是学生，甚至一流大学讲课老师写的教材中，我就发现有的老师将量子定义为基本粒子，而他并没有注意到，只有他自己那么说。如果量子是基本粒子，那么原子是不是量子呢？如果不是，那么为什么可以用原子分子双缝干涉实验呢？中子质子不是基本粒子，在核结构理论中，怎么它们是与原子中电子一样的量子呢？

那么什么才是量子？教科书总应该给我们答案吧。

没有定义的量子

作为一门关于量子的专门课程，量子力学显然应该首先定义，量子是什么。然而奇怪的是，你看到了双缝干涉实验，测不准关系，算符，对易关系，可观测量这些概念后，到薛定谔方程，以及更多的计算方法和处理方法之后，还是找不到量子的定义。至少大部分教科书，至始至终没有定义量子。

但有些科普一点的教科书，或者就是科普书，开始会讲量子的故事。故事的开始是双缝干涉实验，然后是波与粒子的讨论；或者，十九世纪末二十世纪初物理学“两朵乌云”之一——黑体辐射问题，普朗克如何做出假设，才得到正确的黑体辐射能谱公式，从而引出能量量子的说法。

作为一般的思路，我们显然想知道能量量子的具体性质，在各种情形下的表现，等等。然而，教科书或者科普书提出能量量子，说辐射是一份一份的之后，戛然而止，后面再没有能量量子这个词汇。

然后后面可能有玻尔的原子模型，薛定谔方程，一维势阱，等等，进入各种问题和计算，不再理会读者的疑惑。玻尔原子模型中，会提到轨道角动量的量子化。但后面提到电子的自旋为半整数的时候，只会说因为它是费米子，必须符合泡利不相容原理。自旋是什么？是电子的内禀属性。啥意思？不要问了。内禀属性是最后答案。然后有矩阵，算符，厄米算符，本征态，本征值，一大堆的概念和方法需要学习。

你是不是已经忘了量子是什么这个问题了？这正是大多数学习量子力学学生的心路历程。在学习量子力学课程之前，同学们满怀豪情，要搞清楚微观世界的工作原理，有很多问题想问。学完课程之后，却发现自己以前想知道的问题都没有满意的答案，但是却再也问不出问题了。如果有同学坚持不懈，一定要问，老师会充满深意地告诉你：“没有人懂量子力学”。

那么，至少应该说清楚什么是量子吧？能量量子是什么东西？角动量有没有量子？你不能问这些问题。你看看量子力学有多少应用领域啊，都取得了成功。原子光谱，元素周期表，化学键，原子核结构，核反应，固体物理，能带，半导体，……，都有处理的方法，不用量子力学就没有办法，你相信了吧？

“您说的那些方法我学了，也会用。但是什么是量子？”

“我们不会考这种问题。”

“好吧。”

如果我们一定要做不懂事的学生，打破砂锅问到底，我们可以总结所有的科普书，教科书，及参考文献，得到如下概念及疑问：

关于量子我们知道的和不知道的

古希腊留基伯(Leucippus)和德谟克利特(Democritus)的原子论：所有的物质由不可分，不可灭的基本元素即原子，和虚空构成。虚空可以对应现代物理中的真空。原子并不对应现代物理中的任何概念，但类似于经典的粒子。古印度学者也有类似的观点。

要注意，即使在当时，古希腊的原子论也只是少数人的观点。学术上更有影响的亚里斯多德就不认可原子论。他认为物质是连续的，像流体。

普朗克的能量量子被认为是现代量子论的开端。普朗克本人也因此被称为量子之父。然而什么是能量量子却是一个问题。按照定义，能量量子是普朗克常数乘以辐射频率。但频率却是可变的，从零到无穷大。这与“最小单位”的概念不符。或者说，存在无数任意大小的能量量子，甚至能量可以无穷大。当时相对论还没有出现，如果考虑相对论，那么还有同一个能量量子在不同参照系下能量不同的问题。顺便，普朗克能量和能量量子无关。普朗克能量应该看成一个能量标度，而不是单位。普朗克能量的数值太大了，根本不在“量子”的能量范围。

普朗克提出能量量子(1900)不久，1905年爱因斯坦在讨论光电效应的时候，提出了光子的概念，并认为光子就是普朗克的能量量子。这本来应该是皆大欢喜的事情，但普朗克却不认可光子是能量量子的说法。能量量子就是纯的能量，在电磁辐射场中。可是光子不就是辐射吗？但光子还有动量和自旋，“不干净”。除了计算黑体辐射外，再没有看到能量量子的说法。

那么光子又是什么呢？爱因斯坦虽然因此获得了诺贝尔物理奖，但到晚年他自己却非常迷惑。如果光子是点粒子，它的波动行为怎么解释？如果不是，γ光子不就是吗？同样一个光子，能量高低在不同惯性参照系中就会出现。

普朗克的能量量子化和后面玻尔的量子化不是一回事。玻尔原子模型是光谱测量的结果，他们只是找到了分立能谱的规律，并没有说角动量是量子化的。角动量量子化要等薛定谔方程提出后，直接求解原子能级时，才会出现。

那么有角动量量子吗？是半整数还是整数(角动量单位h/2pi)？我们知道不同本征态的角动量取整数或半整数，但是我们能说角动量是量子化的吗？叠加态怎么算？

还有哪些量子？时间空间是量子化的吗？有人认为是，更多的人不表态。

所有严肃的文献中，在牵涉量子定义的描述中，会忠实地引用呈现留基伯，普朗克，爱因斯坦，玻尔的说法，但是不评判，不引申，不提供结论。这样的描述是严谨的，中性的，但实际上仍然有强烈暗示，即量子是世间万物的基础。初学者一般体会不到作者的用心，但是能够接受暗示，接受量子的基本性，却仍然不知道量子的确切定义。

引用既不是证明，也不是定义。对于最初的提出者，量子概念只是一个猜想。一个猜想，引用多次还是猜想。如果要作为原则，仍然需要严格的论证。

什么是量子思维？当无法用正常逻辑理解的时候，强行接受一个不能用逻辑解释的东西？符合逻辑是最基本的要求，不符合逻辑的自由度太大了，并不只有“量子”的方式。说一个东西不是我们一般概念定义的东西，即不是经典概念，但也应该明确定义该概念。不能说一个东西既不是粒子，又不是波，既是粒子，又是波。这是话术，不是科学。

哥本哈根诠释中的量子

哥本哈根诠释中并没有直接定义量子。但是我们可以从量子力学的基本概念和公式体系出发，总结出哥本哈根诠释下量子的定义。这个总结是作者做的，教科书和参考文献中都没有。

德布罗意物质波假定实际上是量子力学最基本的假定，它假定所有物质都是量子，都是波，都可以发生双缝干涉，都要用薛定谔方程描述。量子性就是波动性，这一点教科书没有明确说明。

所以任何物质都是量子，都有德布罗意波长，小到基本粒子，大到星球，星系。

当然，我们每个人也是量子，按照量子原理工作。所以，“人处在经典环境中，无法理解量子行为”的说法是站不住脚的。

量子都有波粒二象性，所以每个量子也是一个粒子，可以随机坍缩到它的波函数中的一点。对于宏观物体，如果有大小形状，由于德布罗意波长很短，坍缩导致的变化看不出来。

对量子的完全描述是其波函数，而波函数是一个概率(幅)集合。所以每个量子就是一个概率集合。即观察它的时候，得到所有不同值的概率。量子是概率集合，意味着彻底的随机性。在哥本哈根图像中，世间万物都是随机的。

量子是波隐含假定了每个量子都是无穷大的，因为波函数充满全空间，除非在无限深势阱中，而无限深势阱不存在。

对于单个量子的波函数，要求所有概率加起来为1，即归一性。如果从不同的角度看它，也就是表象变换，因为还是那个粒子，所以变换后的概率之和也必须为1，这就要求变换过程，比如变换矩阵，是么正的。所以你会经常看到么正变换这个词。

没有明确定义的量子，是其神秘性的重要原因。神秘的量子是成年人的圣诞老人或者孙悟空。

全局诠释下的量子

任何全局模式。基础是量子场论。

量子是时空场的比较稳定的扰动模式，一般是本征扰动模式，包括复合模式，如质子中子，原子，分子，及更大的结构。唯一特殊的是光子，因为它没有静质量，还有极广的能量范围。其它粒子都有静质量。

在一定边条件下，全局模式一般是分立的，即“量子化”的。

大的结构在更大的环境和边条件下，同样也有更大尺度的全局模式。