漫谈超网络探索

1.引言

近年来，随着复杂网络研究的不断深入，研究表明仅仅研究单一网络是远为不够的，更加重要的是研究具有交互作用、相互关联和依存的“网络的网络”，也称为超网络，这里统称超网络。超网络是大量现实世界网络错综复杂的真实表现，其特点表现在：网络嵌套着网络，“你中有我，我中有你”，网络节点本身可能是一个复杂网络，整个网络具有多层次、多维性、多级性、多属性和多目标等特点。超网络基本上是具有自组织的各类网络的集成，像高科技网络、物联网、军用网等许多网络是超网络的一些典型实例，研究表明：网络科学研究已经进入更高的研究阶段——超网络科学。

中国原子能科学研究院网络科学小组较早关注超网络研究的重要性和紧迫性，我们在国家自然科学基金面上项目研究中，开展了超网络模型理论及应用研究，构造了基于小世界、无标度和统一混合网络理论的超网络理论模型，研究了随机和择优连边机制对于拓扑特性的影响，并提出了交叉度新参数来表征不同层次网络之间可能的合作与竞争关系，并应用于世界五百强企业超网络的构建和分析，取得了理论和实证相符的初步成果。

2   超网络的若干探索概况

国内外超网络尚处在一个探索阶段，早在计算机系统、遗传学等领域，超网络一词被用来泛指节点众多、网络中含有网络的系统，特别是将互联网视为超网络。Nagurney和后来许多学者处理交织网时，把“高于而又超于现存网络”的网络称为超网络。一般认为：一些网络嵌套着网络、多层、多级、具有多属性和多目标的网络称为超网络。2014年Boccaletti等人在综述《多层网络的结构与动力学》中，给出了一个多层次超网络的数学定义，用于描述社会系统以及其他复杂网络系统中的多层次超网络及其相关问题^]，这篇综述比较全面反映了国际上超网络研究的主要进展概况。

随着人们逐渐意识到超网络的普遍性和重要性，超网络的研究越来越受到关注和重视，迄今超网络理论模型探索中基本上分为两大方向：一是研究基于传统网络概念构建的超网络理论模型及其特性研究；二是基于超图构建的超网络模型及其特性探索，我们小组的工作属于前者。后者在我国已经提出和探索了一些理论模型，属于一类局域世界超网络模型；例如利用Poisson过程理论证明了这类超网络模型的幂律涌现和无尺度特性，并把BA模型作为特例包括在内。

实际上，探索超网络首先是实际网络的需要，诸如电网级联崩溃效应而引起学者们的重视，主要表现在复杂网络的渗流研究方面，Watts最早提出了“关于随机网络的全局级联的一个简单模型《A simple model of  global cascades onrandom networks》”，该文成为研究产生网络级联领域的一篇重要文献，其主要思路是把网络中的级联问题归结为一个渗流问题，然后利用生成函数的方法对网络级联一些性质进行理论分析。之后Buldyrev 等2010年在《Nature》上讨论了关于相互依赖网络中级联突变(崩溃或失败)的过程，揭示了网络渗流相变特点；同年Parshani 在《Phys. Rev. Lett.》上的论文发现在相互依赖网络中减少耦合强度导致从一级相变到二级相变的过程^[45]；2012年Gao等在《Nature-Physics》上撰文，总结了超网络的主要理论分析框架和主要进展，揭示了超网络级联崩溃过程并解释了超网络中发生的级联突变(崩溃)的物理机制；2015年Havlin等介绍了由N个独立网络构成的相互作用超网络的渗流特性，网络之间存在较强的相互依赖性耦合时，渗流过渡是不连续的（一阶）相变。2013年西班牙学者Gomez等还探讨了超网络是多层网络的扩散动力学，构造了超拉普拉斯矩阵，揭示了完全网络的特征向量、特征值的谱结构和多层关联加速扩散，有助于理解多层网络上发生扩散的物理过程；如此等等。

随着研究人员对超网络研究的关注和重视，国外针对超网络成立了专门研究机构，如：美国麻省理工学院等在2003年组建了超网络计算与可视化实验室(Supernetworks Laboratory forComputation and Visualization），马萨诸塞大学成立了超网络虚拟中心，著名的Anna Nagurney教授任中心主任，主要开展：供应链、互联网等经济领域超网络的决策、优化和博弈论；供应链管理；从运输到电力网络的关键基础设施；金融网络；知识和社会网络；能源、环境、可持续性；风险管理；超网络的脆弱性、弹性、和性能指标等超网络研究。我国高校也有超网络研究中心。

3   多层超网络模型研究

为了揭示超网络的新特性，根据超网络的最基本特征是不同网络之间的关联作用和依赖关系，基于单一网络普遍存在小世界（SW）和无标度（SF）特性，以它们的理论模型为基础，2014年我院网络科学小组构建了四种三层超网络演化模型。我们在2006年首先提出了由三部曲模型组成的网络科学的统一混合理论框架（Unified Hybrid Network Theory Framework），揭示了复杂网络模型的复杂性—多样性与简单性—普适性之间相互转变的错综复杂关系^[52~54]。进而提出了多种类型的网络金字塔，包括网络模型复杂性金字塔、多种广义Farey树网络金字塔和高科技网络金字塔等，网络金字塔揭示了一大类超网络的多层次表现形式和若干特点，提供了探索超网络的一条新途径，这些成果已应邀入选2013年由美国WILEY出版社出版的专著《网络复杂性研究进展》。

我们小组在开展网络科学的重点项目之后，开始关注国内外超网络研究进展，2012年至2015年承担了国家自然科学基金面上项目《探索一大类“网络的网络”的理论建模及其分析方法》，开展了超网络理论模型和相关应用研究。根据现实世界超网络的特征，我们首先基于WS小世界模型和BA无标度模型分别构建了四种三层超网络演化模型，构建方法如下：1）三层均为BA模型（简称TBA）、三层均为SW模型（简称TSW）、第一层和第三层为BA模型，中间第二层为SW模型（简称BA-SW）、第一层和第三层为SW模型，中间第二层为BA模型（简称SW-BA），示意图如图5所示。为了从不同角度来分析上下层之间的边的连接（关联）对超网络的影响，模型考虑了两种类型的连边模式：随机和择优，随机的方式是赋给上下层对应节点一个随机数，如果随机数大于连边概率，那么上下层对应节点相互连接，否则不连接。择优的方式是根据上下层对应节点的度大小进行排序，度越大则连边的概率越大。

我们小组提出的统一混合网络理论模型分别引入４个混合比，得到了比较丰富的拓扑特性，能够应用于许多实际网络的研究分析，因此开展基于统一混合网络理论框架的多层次超网络模型研究具有一定的理论价值和现实意义。在统一混合网络理论框架的基础上，我们小组分别构建了和谐统一混合择优超网络模型（简称HUHPSM，模型由三层HUHPM组成）、大统一混合超网络模型（简称LUHSM，模型由三层LUHNM组成）和大统一混合变速增长模型（简称LUHVGSM，模型由三层LUHVGM组成）。

基于传统的网络科学理论，我们分析了以上超网络模型在不同连接模式下的若干网络特性，发现了一些新现象和新特点，例如揭示了超网络中存在极值现象、∨-型曲线、∧-型曲线，即多峰现象等^[60]。对于超网络模型而言，由于传统的网络特性的计算忽视了不同层次之间的边属性的差异，采用一视同仁的方式进行分析，显然对于超网络而言是不够全面的，因此我们提出了“交叉度”的概念来进一步对超网络模型的一些性质进行分析。                

多层超网络模型交叉度的计算结果发现：相比于传统的复杂网络特性，交叉度更能反映超网络中合作-竞争关系和新特点。我们还探讨和计算了不同网络特性随网络节点“去点率”的增加网络特性的变化趋势，通过比较不同网络特性变化特点，发现利用交叉度能够反映超网络鲁棒性演化趋势。

4  五百强企业超网络实证研究

的员利用系各种不同复杂网络的结构复杂性以及网络行为之间关系的有利    进一步，我们将以上思想和超网络演化模型的研究结果应用于实证分析当中，在以前的工作中，我们已经研究过单个层次的五百强企业网络模型，并分析了它们的网络特性。为了与以前工作相结合，并系统地研究中国和世界五百强企业之间的合作关系，我们搜集了2010-2012年相关数据，构建了五百强企业超网络模型。我们假定第一层次网络为中国五百强企业，第二层次为企业所属的行业或领域，第三层次为世界五百强企业，在第一层和第三层中的企业首先根据地域的关系进行连边，相同地域则连边，否则不连。第一层和第二层及第二层和第三层之间根据企业是否属于某个行业连边，该企业属于相应的行业则连边，否则不连。这样初步构造了一个五百强企业超网络模型，五百强企业超网络模型的度分布与我们之前所研究的高科技网络度分布特性类似，均为多幂律分布。

五百强企业之间除了地域之间的规则连接以外，在第一层和第三层企业节点引入随机连接或择优连接。随机连接以概率P为阈值，根据随机数的大小确定对应的第一层和第三层企业节点之间是否连边。择优连接首先根据五百强企业的营业收入，进行归一化计算得到各个企业的连接概率，将连接概率与阈值P相比较，连接概率大于阈值择连边，否则不连边。据此我们计算了五百强企业随机超网络模型和择优超网络模型的网络特性和交叉度，结果表明：五百强企业超网络的群聚系数、平均最短路径和相称性系数随阈值P的变化情况有一定的规律，但是并不相同，对于两种连接概率下，群聚系数C都是随阈值P增加而增加，而平均最短路径则刚好相反；对于随机连接和择优连接两种情形相称性系数rc随阈值P增加刚好相反；可见采用原来拓扑特征量择优连接和随机连接会使超网络出现截然相反的变化，难以准确衡量五百强企业之间的合作与竞争关系。但是，应用交叉度则能很清晰地看到：对于随机连接和择优连接两种情形，交叉度CL随阈值P增加而一致增加，这说明交叉度能够反映出五百强企业之间的合作涌现情况，并且结论与理论模型研究相一致。

 小结

超网络已成为网络科学的新热点和难点。本文首先简介了超网络的概念、典型实例和探索概况；主要介绍了我们课题组基于经典的小世界网络和无标度网络模型构建了几种三层超网络演化模型，并以五百强企业超网络实证模型为实例，揭示了超网络的交叉度新特性和拓扑特征的变化规律，包括揭开超网络新特性出现极值现象、V-型曲线、∧-型曲线和多峰现象等。我们小组提出了多种类型超网络理论模型，为从理论上进一步深入分析和完善多层次的超网络演化模型及其应用研究打下一定的基础。超网络是一门各个领域广泛交叉的新兴交叉科学，有一系列课题值得深入探索，需要凝聚众多领域的研究人员的智慧，驱动创新，不懈努力，共同推进我国网络科学向前发展。

（注：本文省略所有图形和许多参考文献，特表歉意.）

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