哥德尔定理的整体框架使用了康托尔对角线的证明方法。康托尔使用对角线方法证明了实数不可数，因此引出了 不可数集和连续统。但是量子物理，其实指出的是真实世界是离散的，连续或许只是一种主观想象。

其实，康托尔使用（逆）对角线方法来做证明，在数学界一开始就是有争议，后来只是希尔伯特用权威的地位挺了康托尔对角线，将构造主义的布劳维尔（Brouwer，或译布劳威尔）赶出了数学界，同时使用形式主义吸收了构造主义的部分观点，也正因此形式主义还有非构造残余。后来，布劳维尔的构造思想，在计算科学中继续发展，但是非构造成分同样还残余在计算理论中。布劳维尔对于构造的贡献，似乎也被有意无意地隐藏了。布劳维尔在一次演讲中，影响和激发了维特根斯坦的构造思想，导致了维特根斯坦的哲学发生了重大的转向。因此，布劳维尔的构造精神，一方面保留在计算科学中，一方面保留在维氏的哲学中。

我借鉴维特根斯坦的思想，指出康托尔对角线方法是无效的证明方法。类似地，计算理论中的停机问题也是无效证明。

从一百年的经验来看，哥德尔定理，停机定理，等等使用对角线方法证明的定理，都没有什么实际的应用（哥德尔定理中构造部分的哥德尔编码和递归函数，就有广泛的应用）。而康托尔使用对角线方法证明实数不可数，从构造的角度来看，只不过是康托尔发明了一种构造新的数（或称函数）的方法。

基于实无穷使用对角线方法，如果新产生的元素直观上也是在可数集合中，就一定会导致矛盾。产生了矛盾以后，就去寻找可以嫁祸的前提，比如在实数领域责任嫁祸给实数可数假设，在计算领域将责任嫁祸给停机问题。停机问题，只是被嫁祸的一个前提。事实上，停机问题并不重要。计算的关键是有输入有指令执行有输出，有输出就可以，停机不停机重要吗？不重要。就好像实时系统，操作系统，都可以不停机，一直计算，关键是一直能指令执行有输出就可以。

有兴趣可以参考：

庄朝晖，基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论，《厦门大学学报（哲社版）》，第2期，2008（获得首届全国洪谦哲学论文奖）

中文摘要:维特根斯坦对哥德尔定理的评论一向为人们所诟病。基于直觉主义 ,维特根斯坦的评论可以得到更好的理解。在直觉主义者看来 ,康托尔的对角线证明方法是不适当的 ,因为在证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的 ,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。证明中的矛盾不是来自前提错误 ,而是来自不正当的对康托尔数的定义和使用。同样 ,哥德尔定理证明中得到的矛盾是来源于哥德尔对哥德尔公式的不正当定义和使用。这一结论还可以推广到递归函数和图灵机这些等价的计算模型。

以下是一篇学位论文中对该成果的评论：

国内学者很少有从直觉主义所持有的一些立场考察“哥德尔不完备定理’’，而厦门大学计 算机教授庄朝晖的《基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论——从维特根斯坦的评论开 始》（２００８）这篇论文具有非常大的学术价值，这一论文不但可以帮助我们理解维特根斯坦所 持有的数学哲学观点，更能理解到维特根斯坦为何坚决反对“哥德尔不完备定理”证明中所 运用的前提、方法和结论。.......所以，在国内研究领域，只有庄朝晖 教授从直觉主义的角度分析“哥德尔不完备定理”，重视维特根斯坦后期所持有的数学哲学立 场，并认识到这一立场对哲学、计算机科学领域等领域的研究具有非常重要理论价值。

祝大家新年快乐！