图1. 雕塑 The Partisans  by Andrej Pitynski (The polish doomed soliders).

北美历史上第一块公共绿地，Boston Common，坐落在波士顿老城中心。在这片绿草如茵的土地上，美国的先民们曾经绞死过印第安酋长，焚烧过信奉异教的少女。在绿地的一角，有一组雕塑令看过的人难以忘怀。那是一队孤独的骑士，疲惫悲怆，宛若鬼影，烈马嘶鸣，步态踉跄。他们被祖国背叛，被世界抛弃，痛苦绝望中依然对自己的内心忠贞不渝，虽然无法扭转命运，他们的长矛依然直刺苍穹！

我的一位朋友曾任清华丹青社社长，有一年途径波士顿，开车无意中眺望到这组雕塑，脱口而出“国殇！”。这组雕像在静穆颓唐中辐射出强大的精神张力，反应着人类在身处绝境时慷慨赴死，决绝不屈的意志力量。这组雕像的名字就叫“Doomed Soliders”！

在数学史上，有着这样一位Doomed Solider，他自幼天赋异秉，年纪轻轻就洞察到自然界异常深邃神秘的定律。但是，他的思想超越于时代，当时的世上，无人能够理解他的思想。他对于政治，一如对数学一样狂热，最终为了自己的理念战死异国。在他死后二十年后，世界上的数学家日渐理解了他深刻晦涩的思想，最终他的理论被接纳成为主流数学，并且以他的名字来命名这一套优美的理论。

不，这个天才不是伽罗华！他的名字叫做泰西米勒，Teichmuller。在德语中，Muller的意思等同于英语中的Miller，是磨坊主的意思，词根Teich大概意味着技术，由此我们不妨将这位天才记为“磨坊工”。Teichmuller为之殒命的政治组织是希特勒的纳粹，他的天才被葬送在莫斯科战场。虽然数学家唾弃他的政治立场，但是依然敬佩他揭示的几何规律，因此依然慷慨大度地将这套理论称之为Teichmuller理论。下面，我们就来简介Teichmuller理论的梗概。

我们考虑两个拓扑同胚的黎曼面之间的所有微分同胚，这些微分同胚可以由同伦等价进行分类，这些同伦等价类构成一个结构复杂的非交换群，被称为是曲面映射类群（Mapping Class Group）。我们固定一个同伦类，进一步考察这一类中所有的微分同胚。自然，同伦等价的微分同胚有无穷多个， 那么在这无穷多个微分同胚中，是否存在某种意义下的极值映射？这种极值映射是否唯一？它的几何特征如何刻画？Teichmuller理论对这些问题给出了完美的解答。

作为类比，我们先看一个简单的例子。我们考察从单位圆到封闭曲面的映射，其像为曲面上的封闭曲线，换言之曲面上的圈。曲面上所有的圈可以依据同伦等价进行分类。我们来衡量映射的调和能量，其极值映射对应着曲面上的测地线。那么如果曲面的黎曼度量诱导的高斯曲率处处为负，那么每一同伦类中测地线存在并且唯一；如果曲面的高斯曲率有正有负，那么每一同伦类中的测地线有可能并不唯一。

Teichmuller理论比测地线理论更加简洁优美。我们这里关心的是微分同胚所带来的角度的畸变。从以前讨论（拟共形映射1,2）我们知道，微分同胚将源曲面上的无穷小椭圆映成目标曲面上的无穷小圆，映射所诱导的角度畸变由无穷小椭圆的偏心率（长轴短轴之比）来刻画。Teichmuller理论保证在每一个同伦类中，必定存在唯一的微分同胚，它使得无穷小椭圆偏心率的最大者最小，我们姑且称这种映射为Teichmuller映射。在一般情形，在任一同伦类中，Teichmuller映射唯一。更进一步，Teichmuller映射具有非常简洁优美的几何解释。

我们首先将Beltrami系数的概念推广到一般黎曼面上。假设是曲面间的映射，它借用黎曼面的复坐标的局部表示为：。那么由通常定义，这个局部表示的Beltrami系数为：

我们将其拓展成所谓的Beltrami微分

当我们转换成另外的局部坐标系，Beltrami微分相应的表示变化为，

由此我们得到关系方程：

   。

Teichmuler映射极小化Beltrami微分的模，

。

我们首先来考察最为简单的情形：拓扑四边形。给定一张单连通的带度量的光滑曲面，假设其边界光滑。我们在其边界上指定四个角点

,

那么我们称为一个拓扑四边形。根据共形几何中的极值长度理论，存在一个共形映射，将拓扑四边形映成平面上的标准长方形，这个长方形的长宽之比是由曲面的几何以及四个角点所确定，被称为是曲面的共形模。

图2. 拓扑四边形的共形模。

两个拓扑四边形曲面之间的Teichmuller映射，简单得无法再简单了，恰好就是它们所对应的长方形之间的线性映射！这一事实，在Teichmuller之前很早就被数学家发现了。

图3. 拓扑四边形之间的Teichmuller映射是长方形间的线性映射。

我们再来考察亏格为一的曲面情形。根据曲面单值化定理，黎曼面可以共形地，周期性地映到平面上，换言之，映到平环上，这里格群。平环的一个基本域是一个平行四边形。曲面间的Teichmuller映射由平行四边形之间的线性映射给出。由此可见，Teichmuller映射都是在曲面的某个共形的平直度量下的线性映射。Teichmuller的伟大之处就在于，他将这一简单情形系统地推广到了拓扑复杂曲面的情形。他天才地将Teichmuller映射和黎曼面上的全纯二次微分联系在一起，从而彻底澄清了极值映射的内在几何意义。

首先，我们介绍黎曼面上的全纯二次微分的概念。如果是黎曼面上的一个全纯二次微分，在局部复坐标下，具有局部表示：

这里是全纯函数。当我们转换到另一个局部坐标下，全纯二次微分的局部表示相应的变化为

由此我们得到关系式：

。

假设在离散点处，, 这些点被称为是全纯二次微分的零点。根据高斯-博内定理，零点的个数等于，这里是曲面的亏格。任取一个正常点，，取此点的一个开邻域,我们定义映射,

,

如此我们为曲面定义了局部坐标，所谓的由全纯二次微分所确定的自然坐标。曲面上的一条曲线，如果在任意自然坐标下，都是水平线，那么我们称这条曲线为水平轨道 (horizontal trajectory)。相类似的，我们可以定义铅直轨道 (vertical trajectory)。过零点的轨道被称为是临界轨道(crtical trajectory)。

图4. 全纯二次微分的水平轨道(雷娜，郑晓朋计算绘制)。

曲面上所有的全纯二次微分构成一个线性空间，根据黎曼-罗赫定理，这个空间的维数是实的维。

给定两张黎曼面，和映射的同伦类，存在唯一的Teichmuller映射。根据Teichmuller理论，存在源曲面上的全纯二次微分，和目标曲面上的全纯二次微分, 把的轨道映到的轨道，把的零点映到的零点。我们用的自然坐标和的自然坐标，则Teichmuller映射的局部表示为线性映射，把水平轨迹处处均匀拉伸，保持铅直轨迹不变。换言之，在特殊的共形平直度量下，Teichmuller映射就是线性映射；但是这种特殊的共形平直度量取决于两个曲面的几何，和曲面映射的同伦类。

图5. 一般微分同胚(B)和Teichmuller映射(C)对比(雷乐铭计算绘制）。

Teichmuller的Beltrami微分具有特殊形式：

一般的微分同胚把源曲面上的无穷小圆映到目标曲面上的无穷小椭圆，这些无穷小椭圆的偏心率彼此不同；Teichmuller映射将源曲面上的无穷小圆映到目标曲面上的无穷小椭圆，这些无穷小椭圆具有相同的偏心率。如图5所示，B显示了一个微分同胚，及其无穷小椭圆偏心率的直方图；C显示了一个Teichmuller映射，极其无穷小椭圆偏心率的直方图。我们看到，Teichmuller映射所诱导的无穷小椭圆具有相同的偏心率。

图6. Teichmuller映射应用于纹理贴图(雷乐铭计算绘制）。

在许多工程和医疗领域中，寻找曲面间的典范映射具有根本的重要性。Teichmuller映射给出了一个理论完备的方案。Teichmuller映射的存在性和唯一性为许多应用提供了坚实的理论基础。但是，Teichmuller映射的计算是强烈非线性的，寻找Teichmuller映射的算法一直具有根本的重要性。在丘成桐先生的指导下，香港中文大学的雷乐铭教授团队和老顾团队，在拟共形映射计算理论和方法方面长期合作，特别是近期以来雷乐铭教授发展出一系列实用算法(请查阅参考文献)，在工程和医疗领域获得广泛应用。雷教授目前成为拟共形几何领域的一颗耀眼的学术明星。在后继的文章中，我们会具体阐述这些算法的思想和方法。

参考文献

[1] K.C. Lam, X.F. Gu, L.M. Lui: Landmark Constrained Genus-one Surface Teichmuller Map Applied to Surface Registration in Medical Imaging, Medical Image Analysis, 25(1), 45-55 (2015)

[2] L.M. Lui, S.T. Yau, X.F. Gu: Convergence analysis of an iterative algorithm for Teichmuller maps via harmonic energy optimization, accepted, Mathematics of Computation (2014)

[3] L.M. Lui, K.C. Lam, S.T. Yau, X.F. Gu: Teichmuller mapping (T-Map) and its applications to landmark matching registrations, SIAM Journal on Imaging Sciences, 7(1), 391–426 (2014)

[4] T.C. Ng, X.F. Gu, L.M. Lui: Teichmuller extremal map of multiply-connected domains using Beltrami holomorphic flow, Journal of Scientific Computing, 60(2), 249-275 (2013)

【本文博客版本】http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-960102.html

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