图1.波士顿三一教堂（姜健摄）。

在学术界的各个领域，都存在着这样的问题：这个问题是如此基本而重要，它的解决关乎整个领域的根基；如果不将它解决，整个领域的发展将会受到极大的限制，甚至可能成为空中楼阁。但是这个问题本身具有根本的难度，其彻底解决一直是这个领域学者苦苦求索的终极目标。这样的问题往往被称为是这个领域的"圣杯“(Holy Grail)。

在2007年，T-样条（T-spline）之父伯明翰大学的Tom Sederberg教授向老顾介绍了一门即将兴起的领域-等几何分析（Isogeometric Analysis），这门学科的奠基人是计算力学领域的泰斗，美国科学院、美国工程院、美国艺术和科学院三院院士：德州大学奥斯汀分校的Tom Hughes教授。Sederberg教授向Hughes教授推荐老顾，接受邀请后老顾于2007年12月来奥斯汀应用计算工程与科学研究所访问，向Hughes教授讲述了计算共形几何方面研究成果。Hughes教授向老顾传授了等几何分析的核心思想和面临的基本困难。

图2. 曲面的多面体网格表示和T-样条表示。

在计算机科学中，曲面形状的表示主要有两种：三角网格或者更一般的多面体网格，主要用于动漫电影和实时游戏工业；样条曲面（Spline Surface），主要用于机械制造业。如图2所示，左帧和右帧显示的同样的曲面，左帧是多面体网格表示，曲面是连续的但是不光滑；右帧是T-样条曲面，实际上是分片多项式曲面，具有高阶光滑性。在机械领域，曲面形状由数控机床加工而成，加工刀具的力度设计、刀具轨迹设计需要用到曲面的二阶导数，因此缺乏光滑性的多面体网格无法胜任，只能用具有高阶光滑性的样条曲面。因而，在计算机辅助几何设计领域，所有传统的机械零件都是由样条曲面表示。

机械设计完成后，如果直接开模加工，造价过于昂贵，因此需要计算模拟验证阶段。设计出的机械零件的热力学性能、机械性能如弹性形变、共振、外力作用下的形变（例如汽车碰撞后的形变）都需要建立偏微分方程，用数值方法求解，做出预测，改进设计。计算力学的方法主要是基于有限元分析。目前的方法是在样条曲面上随机采样，以采样点为顶点进行三角剖分，用三角网格逼近原来样条曲面，再将三角网内部的空间进行三角剖分，生成四面体网格。各种偏微分方程的数值解法都在四面体网格上进行。

这里，我们看到几何设计用的是样条曲面，力学分析用的是多面体网格，这中间的转换损失了精度。Hughes教授说：“Isogeometric analysis is a bridge between compuational geometry and computationa analysis.” IGA的原则是几何的表示方法和分析的表示方法相一致，换言之，就是用同样的样条基底来表示几何形状和偏微分方程的解空间。这样就省去了样条和多面体网格之间的转换。Hughes教授举例说：目前的工业界情况是设计（design）在洛杉矶，网格生成（mesh generation）在孟买，分析（analysis）在底特律，分析出的问题需要改动设计，从而改动网格，整个循环非常费时费力。等几何分析将彻底改变这种不合理的现状。

从2007年到2016年，等几何分析领域异常迅猛地发展。有非常多的问题，用传统有限元方法无法解决，而用等几何分析方法则可以完美解决。在这个领域中，目前绝大多数的论文都是讨论如何用样条基底来数值求解偏微分方程。几乎所有的工作都假定体样条已经给定。这意味着，等几何分析需要在几何设计阶段不但生成曲面样条，而且需要生成体样条。由曲面样条生成体样条的问题对于等几何分析领域而言具有根本的重要性。

在2007年，通过于Hughes教授和Sederberg教授的讨论，老顾意识到研究的中心议题是：“如何自动将体形状转换成样条表示，同时具有全局高阶光滑性，保证体样条和边界曲面样条的一致性，并且尽量减少奇异线和奇异点的个数。”

图3.兔子曲面内部的四面体网格化。

图4. 兔子的六面体网格生成。

如果一个体可以用样条表示，那么体样条自然诱导了体的六面体网格化。因此上面的问题依赖于下面问题的解决：“给定一个封闭曲面S，自动生成四边形网格Q，将四边形网格Q向曲面的内部拓展，生成六面体网格。并且六面体网格具有局部张量积的结构，同时极小化奇异线和奇异点的个数。”

Sederberg教授向Hughes教授推荐老顾时曾说：我不知道顾能否解决这一问题，但是我知道他是距离解决这个问题最近的人。 这对于年轻时的老顾是一个极大的激励和鞭策。

那么这个问题实际上是网格生成领域中的圣杯（Holy Grail）问题的加强版：“给定一个封闭曲面S，自动生成其内部空间的六面体网格”，这一问题亦被称为是神圣网格（Holy Grid）。传统的圣杯问题并不要求所生成的六面体网格具有局部张量积结构，实际上是弱于我们所提出的问题。

多少年以来，这个圣杯问题一直萦绕在老顾心头，为了对这个问题建立更为深刻的洞察，老顾及其团队进行了长期的知识储备和经验积累。2007年老顾在德州大学奥斯汀分校演讲时，观众席中有一位中国学者：雷娜教授。雷教授是计算代数方面的专家，对于代数曲线理论有很深的造诣。老顾用计算共形几何方法解决这一圣杯问题的提议得到雷教授的强烈共鸣。老顾多次在国内讲学，特别是受大连理工大学的邀请，每年在渤海之滨开班传授计算共形几何知识（2015年的课程内容，请参阅《海天讲座I-IV》）。雷教授及其团队每年都来参加海天讲座，共同探讨可行途径。数年后，老顾邀请雷教授到石溪做长期访问，目的就在于进一步为圣杯问题的解决探索道路。在访问期间雷教授和老顾仔细分析了问题的各个侧面，厘清主要步骤。其中最为关键的步骤需要计算出曲面上的一种几何结构，而这种几何结构在历史上没有前人能够提出普适算法。雷教授和老顾斟酌了所有能够想到的可能途径，有代数几何的，微分几何的，共形几何的，有符号计算的，几何偏微分方程的，凸优化的。组织两个团队的博士生同时尝试各种可能的途径，最终找到了关键的算法。雷教授和老顾的工作为解决圣杯问题探索出一条基于叶状结构的基础理论框架。

图5. 德州大学奥斯汀分校，校园（顾险峰摄，03/01/2016）。

图6. 应用计算工程与科学研究所（顾险峰摄，03/01/2016）。

时隔八年后，老顾再度飞到德州大学奥斯汀分校向Tom Hughes教授汇报我们最近发展的理论框架。三月的纽约，春寒料峭，枯枝瑟索；三月的奥斯汀，宛若初夏，蓝天澄澈，阳光灿烂，绿荫满目，花开遍野。

老顾再度来到应用计算工程与科学研究所，往事如昨，历历在目。Tom Hughes教授依然满头银发，精神矍铄，目光敏锐，言辞犀利。八年来，岁月似乎在他身上没有留下痕迹。雷教授和老顾的团队为这次演讲进行了充分的准备，博士研究生郑晓朋，姜健，林瑜尧等准备了演示程序，将前人从未看到过的几何结构直观显示出来。会场上，老顾详尽地解释了我们建立的基础理论框架，辅以大量的图片和实时演示，并且在黑板上演示摹画，讲解拓扑结构。Hughes教授和听众问了大量的问题，力图对内在的几何和拓扑定理建立直觉理解。国际著名几何建模领域专家，A-样条之父Chandrjit Bajaj教授询问了大量的几何和拓扑问题。演讲中，一位听众询问计算拓扑方面的算法是否过于繁难，老顾解释了俄亥俄大学的Tamal Dey教授提出的handle loop和tunnel loop算法，Tama正是Bajaj教授的学生。演讲持续了一小时十八分钟，演讲后的提问异常踊跃。

图7. 黑板上的讨论（顾险峰摄，03/01/2016）。

“Fabulous， Fabulous， absolutely fabulous！ I am thrilled ! ” 演讲一结束，Hughes  教授冲上来祝贺!  "Very nice, very impressive !" Bajaj教授赶上来握手。Bajaj教授和老顾在黑板前面展开了热烈的讨论，特别是如何从代数曲线的角度来诠释曲面的叶状结构。

随后，Tom Hughes 教授邀请老顾，Bajaj教授， Chad M. Landis教授，和德国访问学者Roger Sauer到ASTI饭店共进晚餐。Tom非常兴奋，特意从家中带来多年珍藏的红白葡萄酒。“In the history, the finite element was developed in a wrong way. The analysis field ignores the geometry, people there lack the appreciation of geometry. Everything is ad-hoc. " 席间，Hughes教授大发感慨。”Your work is the biggest development in the field! Your work greatly simplifies many fundamental issues, and laydowns the pathway to  the future!" Hughes教授对于雷教授和老顾发展的理论框架给出了高度的评价，“If your framework is fully carried out, everyone will use the hex-mesh and abandon the tet-mesh for sure! " Bajaj教授感慨到：人生最大的幸事就是学会艰深的数学理论，将其应用于工程实际，取得重大突破。他给老顾看了病毒图片，并且解释了病毒在空间的packing模式，建议在这个方向上一同合作。他询问了矢量丛和叶状结构之间的联系与区别。

席间，老顾介绍了菲尔兹奖得主Thurston对于这一圣杯问题的奠基工作，Hughes教授回顾了上个世纪八十年代他和Thurston的交往，并且将圣杯问题介绍给Thurston的经历。Thurston对于圣杯问题的证明基于另外一位菲尔兹奖得主Smale的定理。Hughes教授当年在伯克利求学的时候曾经是Smale的学生，多次到Smale家中参加聚会。Hughes教授说Smale的最大特点就是长期持之以恒地攻克一个大问题，期间他讲授的所有课程都是为攻克这个问题而作的掩饰和包装，这是典型的伯克利风格。

Hughes教授对于时政具有旗帜鲜明的看法。最近，德州允许学生携枪进入校园，这件事情引发了他的巨大担忧。他说，我带学生去饭店吃饭，如果饮酒那将会触犯法律（德州是宗教氛围非常浓厚的地区），如果学生们把枪拍在桌子上，反倒没事。如果，一个恐怖分子被发现，那么他不具备拿到驾驶执照的资格，但却可以拿到持枪执照。同时他对Trump的走红非常担忧，如果Trump当选，他会成为美国的普京。他认为美国的政治局势到了最为危险的时刻，可以和历史上的麦卡锡时代相类似。

最后话题回到了学术，Hughes教授和老顾都知道将基本理论转换成实际算法，道路依然曲折而漫长。目前雷教授和老顾的理论证明了存在性，但是这一证明是基于共形几何。在实际应用中，黎曼度量和曲面在背景空间中的等距嵌入都起到至关重要的作用，如何发展实用的算法来解决圣杯问题，依然需要长期艰苦的努力，同时需要大量人力物力的支援。长期以来，大连理工大学软件学院院长罗钟铉教授和我们一直密切合作，并且已经共同开始了将我们理论框架转换成算法的工作。Hughes教授和老顾也洽谈了进一步合作的规划。

图8.UT Austin的吉祥物：长角牛Long Horn.

老顾计划发表"圣杯”系列文章，详尽介绍解决这个问题所需要的拓扑，几何理论知识，和相关计算方法。希望更多的朋友们加入到这一领域，推进学术研究的发展进程，落实到社会实际应用当中。

【本文博客版本】http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-957813.html

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

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