清华本科的人文教育非常丰富，令我们受益终身。

哲学 哲学吴卓老师思想深刻，词锋犀利，桀骜不驯，人格独立。课上教导大家不要被主流所裹挟，要躬身体悟，深刻思考。多年之后，老顾和很多同学们孤悬海外，自我放逐，在大洋两岸都没有混入主流，却从容淡定，逍遥于非主流。吴老师讲解了那时风行的萨特哲学，“他人就是地狱”。三十年后，《三体》中的“黑暗森林”就是这一哲学思想的科幻描述，令人悲观绝望，怀疑人生。吴老师讲解马克思主义的宗教观：“精神鸦片”；讲繆勒的观点：“宗教是人对无限者的渴望，对上帝的爱”；又讲“人类具有爱的本能，对于爱这一本能的顶礼膜拜，外化成为宗教”。多年之后，很多清华同学散落世界各地，很多女同学都皈依了基督教，可能是出于对爱的顶礼膜拜。其实绝大多数人的一生都挣扎在对人类自身的热爱和厌憎之间。阅尽沧桑，世态炎凉，刹那间情不知所起，一往而深；转瞬间反目成仇，风流云散。吴老师又讲“人性永远脱离不了兽性”。后来老顾在哈佛有个社会学博士朋友，据他考证年轻男子每隔45秒钟就会想到兽性，毕业后他到香港中文大学任教，继续传播他惊世骇俗的学说。吴老师又讲“人都有生的本能，也有死的本能”，每个人都苦心孤诣，奋发图强；同时也都自我否定，自毁自虐。每个人都在道德层面苛责自己，超脱庸俗，同时又对沉沦堕落无限向往。计94的于同学经常失恋，每次失恋后都大肆请客，酩酊大醉，纵情欢歌。众弟兄兴高采烈地送给他外号“沦丧”。前几天老顾在加拿大的班夫国家公园偶遇于同学，不再激愤，和生命和解，温文尔雅，含情脉脉，小心呵护一家老小，去雪山冰湖远足。吴老师还讲到“人的本质是理性的，又是非理性的”。当人类发现了基因，作为万物之灵的人类自身居然是被基因所严格编码，这是宇宙秩序的证据、人类理性的终极证明；同时基因都包含着一段自毁代码，使得生命在适当时刻自我凋零，这也是个体人类非理性的证明。

吴老师恃才放旷，激情奔放；经常嬉笑怒骂，戏谑嘲讽，引发同学们阵阵大笑。有一位陆姓女同学，特立独行，性格豪爽。似乎她领悟笑点总要比别人晚半拍。经常大家哄笑之后，万籁俱寂之中她爆发出一阵狂笑，于是大家再度一阵哄笑。吴老师曾经柔声细语地委婉劝告：“女生还是温婉贤淑一些好。”这位同学依然我行我素，哲学课上一笑三叹。终于有一次，吴老师语漏机锋“当你走在大路上，忽然想到是清华学生，情不自禁，笑出声来。”大家立即心领神会，满堂哄笑。从此之后，这位同学经常在吴老师讲课的时候和周围伙伴交头接耳：“吴老师嘴里又吐虫子了！”这位同学非常善于将抽象的概念用形象的比喻绘声绘色地描述出来，她的领悟能力和语言能力异常独特而又富有才华。

美学  清华本科的美学教育非常丰富，在各种课程上老师都会对学生进行潜移默化的美学影响。在抽象代数课上，老师讲解群论，讲伽罗华如何平地惊雷，只手擎天，却又超越时代，愤而自戕，使我们体会了亘古的悲怆，更加领悟到了群论深刻的“dry beauty”。在泛函分析课上，老师比较希尔伯特，巴拿赫，索伯列夫等数学大师的杰作，分析他们各自的风格，深邃精辟，激情澎湃。在数学分析课上，老师讲解康托尔尘埃体积为零，点却又和整个空间一样多，又讲到康托尔老师无法理解他的先进思想，令康托尔备受打击，最终在疯人院了却残生，令人唏嘘慨叹，潸然泪下。美学课上，老师讲解崇高和优美，讲解酒神精神，讲波德莱尔的《恶之花》，吟咏奥斯卡王尔德的名句“我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。”几十年后，老顾来到爱尔兰都柏林的圣三一学院，看到王尔德的一座大理石雕像。雕像表面被怪异地进行抛光处理，王尔德慵懒地斜卧着，眼睛俾睨着游客，嘴角似有似无地露出一丝嘲讽。老顾又想到了他的名句，“离婚的最主要原因是结婚”。

在英语课上，年轻的外语老师经常为大家播放英文歌曲。一天傍晚，老顾在巴黎塞纳河畔游荡，突然听到有人用排箫演奏约翰列侬的《imagine》，“想象没有天堂，没有地狱，没有国界，没有杀戮和捐躯的意义；没有宗教，没有贪婪和饥荒，世界融为一体。”夜色苍茫，水流无声。每次老顾去耶鲁大学，总会想起卡朋特兄妹的《昨日重来》，因为纽海文是他们的家乡，柔美的旋律宛若微风掠过心田，想到卡朋特妹妹的凄惨身世，总会引此不尽的悲伤。有一次，老顾和王雅琳从旧金山开车回洛杉矶，经过死亡谷的时候狂飙突袭，偌大的SUV几乎被狂风掀翻。王雅琳面色严峻，紧握方向盘。老顾耳畔回响起了老鹰乐队的《California Hotel》，突然理解了诡异莫名的歌词内容和感人心弦的悲世情怀："We are all just prisoners of our own device, You can checkout anytime you like, but you can never leave !" 男人为虚名浮利所困，女人为情所苦，终身宿命，无人能够逃脱。

音乐欣赏课上，老师系统地讲解了古典音乐，那些优美典雅的乐曲令大家难以忘怀。在计九五班级的新年联欢晚会上，我们班仅有的三名女生郑惠青、卢雪和王雷唱起了王洛宾的“半个月亮爬上来”，曲调优美，意蕴深远，特别是其中的半音阶，微妙精巧，动人心弦。在系里的新年联欢晚会上，卿山唱起了《哭砂》，一个粗豪的男生唱着苦情的歌曲，高潮处情难自抑，歌声激越。其实《哭砂》表达了女生无法留住男生的无奈与悲哀，他们有过美好的回忆，但是男生不愿放弃漂泊。一直不理解卿山为何喜欢这首歌，那时又是唱给谁？上一次去圣地亚哥，和卿山从海岸绝壁上攀援而下，直达天体海滩。碧海蓝天，猎猎罡风，许多伞翼在空中自由滑翔。我们在黄昏落日中并没有进行触及灵魂的谈话。卿山又请我去了当地最知名的川菜馆，吃了餐馆最为知名的一道招牌菜：美式牛排。这反映了美国华人的人文情怀都被剧烈扭曲的残酷现实。那时没有问卿山这首“哭砂”背后的深意，下次去圣地亚哥一定问清。次日，李晨同学从尔湾驱车赶来。李同学在斯坦福的师弟创业，曾经邀请李同学加盟，一心想在学术上有所建树的李同学坚定地予以回绝。后来这家创业公司改名叫谷歌。价值多元，各得其所，人生不过如此。

记得有一天，在二教操作系统的课间，两位女孩突然若无其事地唱起了《如歌的行板》，自然而然，没有造作，没有尴尬，旋律轻盈舒缓，歌声清澈。少男们在一旁静静地伫立。阳光透过树荫从硕大的落地长窗倾泻进来，黑板前粉尘飞舞，课桌座椅表面泛着微光，书籍笔记散放着墨香。那一刹那，时间停止，流光凝滞，歌声缥缈，美好永恒。

音乐 清华本科的音乐教育得天独厚，校方有八大文艺社团，民间更是高手无数。当时，老顾混迹于军乐队，队友的文艺才华令老顾钦佩得五体投地。

那时流行模仿外国电影配音：大幕徐徐拉开，蔚蓝的天幕下，一道剪影，一支长笛，笛声空濛悠远，澄净哀婉：“你以为，因为我穷，低微、不美、矮小，我就没有灵魂没有心么？你想错了！我的灵魂跟你的一样，我的心也跟你的完全一样！”原来是于源同学伴奏的《简爱》配音。下一个节目是卢松涛的小号独奏“西班牙斗牛士”，一上来就是紧张铿锵的蹄声，用娴熟的小号双吐技巧，一阵紧过一阵；突然号声高亢嘹亮，刺破天幕，英勇威武的斗牛士登场亮相；斗牛困兽犹斗，拼死顽抗，斗牛士与之勇敢周旋，最终大获全胜，小号的高音挑破天际，最后在紧锣密鼓中骤然结束。

那时乐队的同学刻苦练功，追求唯美。乐队指挥朱汉城老师经常教导大家：小号的音色应该像阳光中的一把金属粉末那样的绚丽，单簧管的音色应该像一段水晶柱那样的纯洁。大家经常探讨如何令音色更加优美，掌握繁难的指法，稳定飚出极限高音。

通过练琴，老顾对于天赋和努力的辩证关系有了切实的体会。器乐演奏对于乐手的先天条件提出了苛刻的要求。比如演奏萨克斯风，每支小拇指需要各自控制4个按键，低音萨克斯的乐手小拇指必须非常修长。整个乐队只有卿山才有这种“百年不遇”的手指。有一次，卿山抱着低音萨克斯在练习圣桑的《天鹅之死》，抑郁的旋律描绘了宁静皎洁的月色下，一只身负重伤的白天鹅孤身只影在平静的湖面上艰难挣扎，不懈反抗命运。其中一个深沉的低音，需要用上全部的手指，并且口唇肌肉极度放松。卿山见老顾满脸堆笑地等在一旁，于是大度地说道：“老顾，你来一口。”老顾抱过萨克斯过了一把瘾。相反的，乐队唐同学的手非常小巧，开始无法驾驭单簧管，而是从特色乐器小黑管练起。令人无比震惊的是，唐同学很快就能够娴熟自如地演奏单簧管了。这令老顾见识到了清华同学惊人的意志力。

老顾也观察到掌握一门技艺的客观规律。开始练琴的时候，无法驾驭，笨拙而暴力，音色撕裂，难以忍受；逐渐熟能生巧，轻巧自如，柔和含蓄，悦耳动听。渐渐地，老顾理解了与刚烈高亢相比，柔韧温润才是真正高手。前几日，老顾走在曼哈顿街头，忽然间摩天大楼之间回荡起温柔的短号，不用回头老顾就知道乐手在轻揉号键，能够将刚猛的短号吹的如此饱含深情，必为高手。回头望去，但见轮椅上的一位落拓男子，满目憔悴，正在一往情深地演奏着短号。在曼哈顿街头的万丈红尘中，这位乞丐用音乐涤荡着人们麻木的心灵。

大家从《牧歌》开始，练习到《小河淌水》，依随演奏能力的提高，渐渐地大家演奏的音乐曲目越来越多，风格越发多样。《轻骑兵序曲》中段匈牙利吉普赛雕饰调式的主题，旋律宁静而忧郁，带有悲歌的色彩。其中表现骑兵队长雅格仕回忆爱人的一段单簧管solo，极度优美，由陈皓同学来演奏。陈皓同学本来是建筑专业的艺术家，却又酷爱数学，最后成为杨乐夫人的研究生。因为他能够将单簧管的唯美音色发挥得淋漓尽致，成为乐队当仁不让的首席。据说乐队为他配置了最好的单簧管，管身的木头来自德国黑森林，笛头是水晶笛头，簧片是昂贵的法国簧片。那一段叹惋凄美爱情的Solo，荡气回肠，百感交集。陈皓同学的爱情故事也是凄婉动人。陈皓同学也酷爱里姆斯基-科萨科夫的《印度客商之歌》，那里用单簧管的音色来表现宝石闪烁的光芒，如真如幻，怅惘迷茫。

那时候，队友们演奏了大量的乐曲，既有大型管弦乐，也有各种轻音乐。依随岁月流逝，老顾游历世界上很多地方。每到一个城市，经常依稀记得练过的乐曲。英伦的《绿袖姑娘》，《伦敦德里小调》；意大利的《重归苏莲托》；希腊罗德岛《爱琴海的珍珠》；西班牙的《鸽子》；安第斯山脉的《鹰之歌》；纽约长岛是黑手党的发祥地，自然想起《教父》中的《轻声细语》；百老汇音乐剧《猫》中的《回忆》。我们也排练过一些较为古典的乐曲，比较古典的有柴科夫斯基《船歌》，德沃夏克《母亲教我一首歌》，门德尔松《五月的微风》。后来，很多队友情窦大开，刻苦练习舒伯特小夜曲，古诺小夜曲，托赛里小夜曲，梦想着有朝一日在明媚的月夜跑到心爱的姑娘窗下进行演奏。但似乎没有谁真正得逞过。据说清华女生楼的看门老太非常严厉，每次男生去找女生，她都拒绝传呼，而是让男生在楼下直着脖子喊女生，或许她是善意地帮助男生来进行奇特的表白。

在漫长的读博期间，很久无法取得学术上的突破，音乐为老顾带来了莫大的慰藉。波士顿的冬天阴郁寒冷，数月难见阳光。很多博士生都不同程度地罹患抑郁症。当时流行一种帽子，帽遮上自带紫外线灯，可以缓解抑郁。那时老顾捉襟见肘，住在半地下室。冬天经常暴雪封门，无法出行。窗户也被暴雪封住，这时老顾会在昏暗的灯光下抽出高音萨克斯，练习Kenny G的《going home》，《我心继续》，《茉莉花》以排解忧愁。在漫天飞雪，无边忧愁中老顾突然明白了一个道理：Kenny G之所以被誉为萨克斯大师，并不仅仅在于他演奏技巧的高超，而是在于他的作曲，他在历史上首次将高音萨克斯从特色乐器（只负责少数华彩乐句）提升为主旋律乐器。因此，必须要打破常规，敢为天下先。又有一次，老顾在波士顿伯克利音乐学院门前（王力宏和鸟叔母校）看到一位前来踢馆的黑人音乐家，手持一把高音萨克斯，姿态居然如同吹奏唢呐一般，其音乐风格更是离经叛道，狂野不羁。让老顾见识到了何谓世外高人！后来，老顾和乐队的故交唐同学、王同学和谢同学组织了“To Be”乐队。麻省理工的孙友顺同学自认为博士读到了“slow”阶段，于是出山担任学生会主席。孙主席邀请我们乐队多次在麻省理工演出。每次回到麻省理工的无限走廊，总觉得余音袅袅，舞姿翩跹，物是人非，恍然如梦。数十年后，孙主席依然在麻省理工，神采奕奕，笑容可掬，经常带领众多北美创业团队到大陆数十个城市巡回路演。

清华本科期间，老顾所有的同学都是才华横溢，极具人格魅力。他们中的很多人已经或者正在改写中国历史。老顾从同学们身上学到了很多深刻的治学方法和优秀的品质。

乐队的同学热情洋溢，感情奔放。在去食堂的路上，偶遇两三个队友，谈笑间忽然有人提议“我们唱个和弦吧？”于是大家一路大三和弦，附属和弦地一路过去。军训时，男女队友组成混合排，胡雪刚同学和贵冬梅同学一语不合就开始吉他弹唱，胡同学主唱《外面的世界》，贵同学女声伴唱，夕阳西下，暮色渐起，琴声悠扬，旷远忧郁。老顾一直怀疑胡同学是胡雪岩的后代，目前在杭州经营餐饮业，风生水起。贵同学纽约一带，经常在网络上一展歌喉。军训操练一天之后，大家精疲力尽，精神萎顿，卿山同学忽然一嗓子《黄河船夫曲》，“你晓得，天下黄河九十九道湾哎”，众弟兄“几十几道湾上，几十几只船哎”，立刻精神抖擞，在北京昌平地界唱出了陕北高原的感觉。傅志昱同学酷爱摇滚，在军营中带领大家高唱崔健的《新长征路上的摇滚》。指导员白鸥同学忍住笑意，待大家唱毕后故作慌乱状，告诫傅同学注意影响。几十年后，白同学在弗罗里达迈阿密做教授，可能还是那么一本正经。傅同学为大家朗诵海子的“面向大海，春暖花开”，声嘶力竭地唱北大才子杨丹涛的《敲开》，“我的心需要你狠狠地敲开”，爱情居然可以如此血腥，让大家惊诧莫名。正当大家为清华不出自焚诗人而无限懊恼之际，傅同学又为大家背诵了《出国谣》“苦学十几年啊，毕业五十七。囊中羞涩，找不到亲爱的。”令人耳目一新。后来才知道，这位才气纵横的地下诗人是建筑系师兄刘兵。傅同学后来组建了“梦中草原”民谣乐队，小傅所写的《梦中草原》在校园歌手大赛中获得冠军，传唱北京高校。

乐队朋友们最为喜欢排练的当属苏萨的《星条旗永不落》，生猛刚烈，慷慨激昂。在最后高潮部分，所有的铜管都到达了极限高音，大家浑身战栗，血脉贲张。方进同学开始研究交响乐的总谱，带领大家钻研乐理。暑假老顾左手一本《广义函数论》右手一本《交响乐配器法》，在清华荷塘旁认真研习。那里环境优雅，微风习习，垂柳入荷塘，清水出芙蓉。只可惜老顾左边也看不懂，右边也看不懂。多年后，每当老顾从北京飞往纽约，在飞机上总会想起德沃夏克的《新大陆交响曲》，体悟其中的经典配器：长笛和英国管交替演奏的《思乡曲》，旋律优美绝伦，无言凄凉。英国管音色接近双簧管，鼻音浓重，完美地表现了无限思乡之情。当时，这种思绪被恰切地称为“pleasant sorrow”。以区别于高晓松《同桌的你》的“骚柔”。后来，王菲的《传奇》传遍大江南北，这首歌由师兄刘兵作词，师弟李健作曲。但是李健初始版本的《传奇》并没有引起轰动，因为刘兵和李健开始的处理方式上非常接近正统音乐的咏叹调唱法。王菲空灵悠远的表现方式使得《传奇》深入人心。王菲的空灵演唱风格受到爱尔兰小草莓乐队的影响，而小草莓乐队继承了爱尔兰以风笛和竖琴为主的民族音乐风格。凯尔特风笛空濛寂寥，忧郁深情，例如泰坦尼克的《我心继续》。通过学习《广义函数论》和《乐曲设计原理》，老顾理解了管乐器的空气振动模式满足波动方程，由于一端封闭（嘴）一端开放（喇叭口）的边界条件，其解只有奇数次谐波。这意味着长笛、单簧管的乐音的傅里叶频谱没有偶数次谐波。对于人类而言，偶数次谐波的丧失给人忧伤空灵的感觉。小提琴的频谱既有偶次也有奇次谐波，因此更加丰富细腻。由此，老顾在荷塘学习的两本书在物理声学层面独到地阐述了李健的《传奇》。

对老顾影响最大的还是理论班的同学。我们班13个人最大的精神特质就是“沉勇”，沉默的勇敢，为了自己真正的挚爱，勇于放弃世俗，不懈追求，坚韧不拔，九死不悔。

蒋步星同学是国际奥林匹克数学竞赛的首届中国金牌得主，还没有入学就已经名垂青史。机械领域中有着能量密度的概念，例如电池的能量密度低于汽油发动机；各种书籍也有着智力密度的概念，抽象数学的智力密度应该大于长篇小说的智力密度。只要有兴趣，蒋同学能够随时自学任何一部高智力密度的书籍，从代数几何到古典吉他总谱。有一次，蒋同学忽然觉得英语词汇量有待提高，若无其事地开背英汉词典；又有一次，蒋同学意识到酒量在现实生活中的重要性，立刻每天不懈地带着白酒去食堂，刻苦锻炼酒量。蒋步星同学的沉勇更多地体现在对人生道路的选择上。当大家都认为他会在学术上鹏程万里的时候，蒋同学毅然决然地投身到创业之中，很快就一统国内电子报表领域。李晨同学醉心于学术，放弃了成为谷歌founder的机会。娇小玲珑的王雷，放弃了波士顿金领生活，成为第一位爬上过世界七座最高峰并且到达过两极的亚洲女性。

蒋同学酷爱古典吉他，每天在宿舍练琴三个小时。他非常钟爱塔雷加的《阿尔罕布拉宫的回忆》。公元六世纪，阿拉伯帝国征服了伊比利亚半岛，在西班牙开始了长达800年的伊斯兰统治。摩尔人在西班牙的最后一座堡垒是格林纳达，格林纳达的阿尔罕布拉宫成为伊斯兰建筑的经典之作。阿尔罕布拉宫极致华丽，美艳凄绝，成为格林纳达王朝的一曲绝唱。十九世纪末，西班牙吉他演奏家和作曲家塔雷加来到格林纳达，残垣断壁，肃穆悲凉。塔雷加惆怅感伤，心绪荡漾，遂一气呵成千古名曲《阿尔罕布拉宫的回忆》。令人心碎的轮指演奏出曼陀铃的音色，宛若阵阵叹息，叹惋世态沧桑，生命无常。每天，我们昏暗的宿舍都会沉浸在愁云惨淡的哀伤之中。蒋步星的轮指日臻化境，最终赢得清华古典吉他大赛第一名。公元14世纪，西班牙光复，伊莎贝拉女王亲率大军将摩尔人驱离格林纳达。21世纪，老顾来到曼哈顿911纪念馆，世贸中心的遗址处是两个暗无天日的深坑，倒悬的瀑布沿着黑色大理石倾泻而下。令人心碎的轮指又在老顾耳畔萦绕，以博爱为名义的宗教使得人类陷入无际的杀戮。倡导天下大同的约翰列侬也被杀死在纽约街头。

在阿尔汉布拉宫的建筑装饰中，人们可以找到平面上所有可能的对称。由于伊斯兰文明禁止偶像崇拜，所有建筑装饰都不容许带有生命的具体形象，必须是彰显神的智慧的抽象几何模式。对称的数学描述自然是伽罗华的群论。二十世纪初叶，荷兰画家埃舍尔来到格林纳达，被阿尔汉布拉宫镶嵌图案巨大的精神力量所震撼，激发他用数十年创做了三件不朽的作品：天使与恶魔。

图1. 天使与恶魔， 埃舍尔，球面1942，欧氏平面1941 ，双曲圆盘1960。

这三件作品深刻地揭示了人性：每个人都是天使和恶魔的混合，都有善良都有丑恶，都有崇高都有卑鄙，永远挣扎，无法逃脱。第一幅作品表达了有限的球面对称，剩余两幅都是无限的欧氏和双曲对称。拓扑学家和微分几何学家证明了单值化定理，进一步揭示了埃舍尔《天使与恶魔》背后的深意：宇宙间万物，在共形变换的意义下，最终都归结为这三种对称空间中的一种，埃舍尔的作品涵盖了一切自然形状，也涵盖了一切人心，表达了宇宙中永恒的精神。阿尔罕布拉宫感动了建筑师，音乐家，画家和数学家的心灵，他们用各自的才华，表达了对永恒的追求。老顾受此感召，决意用自己计算机科学家的独特方式来表达内心的虔诚：将抽象的单值化定理转换成离散的计算机算法。差不多经历二十年，老顾和朋友们终于建立了离散理论，开发出平易近人的算法。

图2. 单值化定理，世间万物，最终归结为三种标准空间中的一种。

清华本科，同学们都是至善至纯，追求深刻，追求唯美，为了理想主义付出了巨大的热情和心血。多少年来，老顾一直疑惑，清华同学们的横溢才华，卓绝努力是否最终烟消云散，在历史长河中无影无踪？蒋步星同学炉火纯青的轮指绝技是否真的改变了世界？

后来，李健来纽约巡演，“音乐诗人”清华式的忧郁令人倍感亲切。《梦一场》的吉他前奏，令人心碎的轮指响起，宛若《阿尔罕布拉宫的回忆》，在林肯音乐厅久久回荡。老顾终于释然：蒋步星的轮指技艺推动了当年清华古典吉他的艺术氛围，在李健的生命中留下了深刻的烙印，潜移默化地融入到李健的音乐创作之中，最终写入了中国现代音乐史册。

每个人的心血，每个人的努力，融入到时代背景，最终推动历史的发展。如果说雪崩中没有一片雪花是无辜的，那么历史浪潮中每一朵浪花都有其独特价值！

（全文完）

原文发布在【老顾谈几何】公众号 2018年9月9日