博文
数学的本质、对象和发展规律
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最近在看前苏联数学家的名著：“数学：它的内容、方法和意义”，印象特别深刻的是他们对于辩证唯物主义哲学观的推崇。第一卷中，有两节关于数学本质、发展规律的论述，本人觉得比较精辟。关于数学本质，作者援引恩格斯的话：“可是说在纯数学中理性所涉及的只是自身创造和想象的产物，那是完全不对的。数和形的概念不是任何地方得来，而仅仅是从现实世界中得来的。数学是反映现实界的，它产生于人们的实际需要，它的初始概念和原理的建立是以经验为基础的长期历史发展的结果。数学以确定的完全现实的材料作为自己的对象，不过它考察对象时完全舍弃其具体内容和质的特点。“ 所以，恩格斯明确把数学从自然科学中划分出来。数学的本质特征在于其抽象性和概括性，独特的”公式语言“，应用的广泛，数学结论的脱离实验的特征以及它们逻辑的必然性和令人信服。作者特别反对数学的唯心主义和形而上学，他说：数学不是先验的，而是从经验中产生的，不但数学概念本身，而且它的结论，方法都是反映现实世界的。抽象绝对不是数学所特有的，但是其它科学感兴趣的首先是自己的抽象公式同某个完全确定的现象领域的对应问题、研究已经形成的概念系统对给定现象领域的运用界限问题和所采用的抽象系统的相应更换问题，并把这作为最重要的任务之一。相反地，数学完全舍弃了具体现象去研究一般性质，在抽象的共性中考察这些抽象系统本身，而不管它们对个别具体现象的应用界限。可以说，数学抽象的这样绝对化才是数学所特有的。
关于数学的对象，作者说，数学的对象是现实界的这样一些形式和关系，这些形式和关系客观地具有与内容无关的性质，无关到这样的程度以致能够把它们完全从内容中抽象出来，并且能够在一般的形态中定义出来，达到这样的明确性和精确性，保持这样丰富的联系，以致成为理论的逻辑发展的根据。数学以纯粹形态的量的关系和形式作为自己的对象。数学的基本特点：它的思辨的特点，它的结论的逻辑必然性和看来不可变动的性质，以及新概念和新理论产生于数学内部的事实；数学应用的特点被这个与内容无关的性质所规定，当我们能够把实际问题翻译成数学语言时，我们同时能够撇开问题的次要的具体特点，利用一般公式和结论，得出一定的结果。
数学发展的规律，数学是把自然科学的量的规律化为公式的方法，使研究自然科学理论的工具，是解决自然科学和技术问题的手段。社会实践在数学的发展中从三个方面起了决定性的作用：1、社会实践向数学提出新的问题，2、刺激数学向这个或那个方向发展，3、并且提供验证数学结论真理性的标准。在数学中产生了许多理论，但是只有那些在自然科学和技术中找到了应用，或者在具有这种应用的那些理论的重要概括中起了作用的理论，才得到了发展，才能巩固地列入科学之中，而另一些理论却停滞不前，例如，某些没有找到重要的应用的精炼化了的几何理论（如非戴扎尔、非阿基米德几何）就是这样。
数学结论的真理性不是在一般的定义和公理中，也不是在证明的形式的严格性中，而是在现实的应用中，也就是说，归根结底是在实践中得到最后的证实。数学的发展必须首先理解为其对象的逻辑（反映在数学本身的内在逻辑中）、产生的影响以及同自然科学的联系三者相互作用的结果。这种发展是以对立的斗争的复杂途径进行的，其中包括数学的基本内容和形式的重要变化，从内容上来说，数学的发展决定于其对象，但是它基本上和归根结底是由生产的需要所促进的。概括和抽象并不是本身存在，而是同具体材料联系着；定理和理论并不是本身存在，而是同要导向实践的科学有着普遍联系。
作者还批判了数学发展历史上的”逻辑主义“、”直觉主义“、”形式主义“等唯心主义潮流。逻辑主义者断言，全部数学是从逻辑概念中导出的；直觉主义者认为数学的来源在于直觉，认为只有直觉地感受的东西才有意义；形式主义者以为采取了完全形式的态度一切困难就会消失。在直觉主义看来，数学真理存在于数学家的头脑中，而形式主义看来，数学真理存在于纸面上。形式主义最典型的代表是德国的数学家希尔伯特，企图把所有数学都形式化，但由于其数学自身中有限和无限固有的矛盾，难以避免地走向失败，甚至算术都不能象希尔伯特所指望的那样完全形式化（早已被奥地利数学家哥德尔证明）。这些思潮的任何一种，不管其个别结论如何精细和深刻，都不能达到对数学的正确理解。
仔细思考作者的这些阐述，可以为我们选定研究方向和对象提供很好的参考。个人觉得，无论从事何种专业领域的研究，确定研究方向的时候，最好是从是否有利于解决实际中的问题出发，一个理论，无论它多么优美完善，最终的价值必须来自于该理论是否能够被实践所证明其价值，否则，充其量是一幅美丽的画卷，供人打发无聊的时间。就数学学科而言，它与其它科学有所不同，其它科学（尤其是自然科学）的价值体现在是否做出了重大发现，是否合理地解释了重要现象，是否准确地预言了未来状态，数学的价值体现于它作为人类知识体系的工具性地位，它扮演的是为其它科学活动提供方法和武器的角色，没有它，人类的一切科学创造和进步都是空谈，因此，无论是纯粹数学还是应用数学，最富有生命力的和最具有价值的，往往是那些确实对人类认识和改造世界（自然世界、社会世界、思维世界）的效能起到重大推动、促进、改进作用的分支，比如说微积分、微分方程、函数逼近、运筹学、概率论、泛函分析、抽象代数、微分几何等。
https://blog.sciencenet.cn/blog-245255-275139.html
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关于数学的对象，作者说，数学的对象是现实界的这样一些形式和关系，这些形式和关系客观地具有与内容无关的性质，无关到这样的程度以致能够把它们完全从内容中抽象出来，并且能够在一般的形态中定义出来，达到这样的明确性和精确性，保持这样丰富的联系，以致成为理论的逻辑发展的根据。数学以纯粹形态的量的关系和形式作为自己的对象。数学的基本特点：它的思辨的特点，它的结论的逻辑必然性和看来不可变动的性质，以及新概念和新理论产生于数学内部的事实；数学应用的特点被这个与内容无关的性质所规定，当我们能够把实际问题翻译成数学语言时，我们同时能够撇开问题的次要的具体特点，利用一般公式和结论，得出一定的结果。
数学发展的规律，数学是把自然科学的量的规律化为公式的方法，使研究自然科学理论的工具，是解决自然科学和技术问题的手段。社会实践在数学的发展中从三个方面起了决定性的作用：1、社会实践向数学提出新的问题，2、刺激数学向这个或那个方向发展，3、并且提供验证数学结论真理性的标准。在数学中产生了许多理论，但是只有那些在自然科学和技术中找到了应用，或者在具有这种应用的那些理论的重要概括中起了作用的理论，才得到了发展，才能巩固地列入科学之中，而另一些理论却停滞不前，例如，某些没有找到重要的应用的精炼化了的几何理论（如非戴扎尔、非阿基米德几何）就是这样。
数学结论的真理性不是在一般的定义和公理中，也不是在证明的形式的严格性中，而是在现实的应用中，也就是说，归根结底是在实践中得到最后的证实。数学的发展必须首先理解为其对象的逻辑（反映在数学本身的内在逻辑中）、产生的影响以及同自然科学的联系三者相互作用的结果。这种发展是以对立的斗争的复杂途径进行的，其中包括数学的基本内容和形式的重要变化，从内容上来说，数学的发展决定于其对象，但是它基本上和归根结底是由生产的需要所促进的。概括和抽象并不是本身存在，而是同具体材料联系着；定理和理论并不是本身存在，而是同要导向实践的科学有着普遍联系。
作者还批判了数学发展历史上的”逻辑主义“、”直觉主义“、”形式主义“等唯心主义潮流。逻辑主义者断言，全部数学是从逻辑概念中导出的；直觉主义者认为数学的来源在于直觉，认为只有直觉地感受的东西才有意义；形式主义者以为采取了完全形式的态度一切困难就会消失。在直觉主义看来，数学真理存在于数学家的头脑中，而形式主义看来，数学真理存在于纸面上。形式主义最典型的代表是德国的数学家希尔伯特，企图把所有数学都形式化，但由于其数学自身中有限和无限固有的矛盾，难以避免地走向失败，甚至算术都不能象希尔伯特所指望的那样完全形式化（早已被奥地利数学家哥德尔证明）。这些思潮的任何一种，不管其个别结论如何精细和深刻，都不能达到对数学的正确理解。
仔细思考作者的这些阐述，可以为我们选定研究方向和对象提供很好的参考。个人觉得，无论从事何种专业领域的研究，确定研究方向的时候，最好是从是否有利于解决实际中的问题出发，一个理论，无论它多么优美完善，最终的价值必须来自于该理论是否能够被实践所证明其价值，否则，充其量是一幅美丽的画卷，供人打发无聊的时间。就数学学科而言，它与其它科学有所不同，其它科学（尤其是自然科学）的价值体现在是否做出了重大发现，是否合理地解释了重要现象，是否准确地预言了未来状态，数学的价值体现于它作为人类知识体系的工具性地位，它扮演的是为其它科学活动提供方法和武器的角色，没有它，人类的一切科学创造和进步都是空谈，因此，无论是纯粹数学还是应用数学，最富有生命力的和最具有价值的，往往是那些确实对人类认识和改造世界（自然世界、社会世界、思维世界）的效能起到重大推动、促进、改进作用的分支，比如说微积分、微分方程、函数逼近、运筹学、概率论、泛函分析、抽象代数、微分几何等。
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