1. 路径积分的严格化

1923年，Wiener 在研究随机布朗运动时，引入了在连续函数空间里做积分的路径积分理论，定义了维纳测度 (Wiener Measure), 是一个数学上严格的定义。1948年，费曼在狄拉克想法的基础上，引入了用拉格朗日形式处理量子力学的路径积分理论。由于框架优美，易于讨论对称性与不变量，费曼路径积分理论后来在量子力学，场论，统计力学等的应用非常广泛。可是费曼路径积分在数学上是不严格的，许多数学家和物理学家尝试将其在数学上严格化。 Kac 在费曼的工作后，试图通过解析延拓将复的“费曼测度”变成维纳测度而严格化，但是 Cameron 证明不像维纳测度，所谓“费曼测度”无法构建，因为即使在 Bounded Subsets in Path Space, 费曼测度也是发散的。费曼本人早就知道他的基于直觉的路径积分在数学上有问题，他也不喜欢 Kac 的工作，认为类似于维纳测度定义其路径积分将作用量里的动能部分隐藏了起来，从而模糊了动能和势能在作用量里的对等地位。还有许多数学家和物理学家在严格化费曼路径积分上做了很多研究，例如通过推广振荡的Fresnel Integral 的方法，解析延拓的方法（随机量子化）等。这其中大家也许最熟悉的是数学物理学家 Cecile DeWitt - Morette，法国著名的理论物理夏季学校 Les Houches School of Physics 的创建人。

2. 动力学的概率描述：

​1905年，爱因斯坦在研究布朗运动时用概率方法写出了一个自由布朗粒子在位置(构型)空间概率分布随时间演化的扩散方程。1915年，Smoluchowski 将扩散方程推广到存在力场的情形。这两个描述都是随机运动在构型空间里概率分布的时间演化，只适用于惯性或记忆效应可忽略的时间尺度上的描述。一个完整时间尺度的描述需要考虑惯性效应，这是由1914年 Fokker 和1917年 Planck 写下的 Fokker-Planck 方程给出的，该方程描述了随机运动在动量空间中概率分布在无外力存在下的随时演化，等价于随机朗之万方程，导致 Ornstein-Uhlenbeck 过程。在外力存在下，布朗运动的 Fokker-Planck 方程需要推广至完整相空间的概率描述，另一个角度，这也是在描述经典力学演化的 Liouville 方程里加入随机布朗运动效应，这一工作分别由1921年 Klein, 1940年 Kramer, 1943年 Chandrasekhar 做出。

3. 经典力学的形式

阿诺德(Arnold)在其名著“经典力学的数学方法”中先后介绍了经典力学的拉格朗日形式和哈密尔顿形式。阿诺德指出哈密尔顿力学是相空间里的几何学，一个哈密尔顿力学系统由相空间(一个偶数维的流形)，相空间流形上的辛结构，相空间流形上的哈密尔顿函数(一个不变量)给定。当相空间流形是(构型空间)底流形的余切丛时，可通过对偶空间不变量间的勒让德变换，由定义在底流形余切丛上的哈密尔顿函数得到定义在对偶的底流形切丛上的拉格朗日函数，从而由哈密尔顿力学得到拉格朗日力学，因此经典力学的拉格朗日形式是哈密尔顿形式的一个特殊情形。

4. 自旋玻璃和复本方法

(1) 自旋玻璃的最早模型(Edwards-Anderson Model) 对应于研究铁磁有序相变的伊辛模型，假定了近邻相互作用，用了复本技巧(Replica Trick)，并且用了平均场近似。下一个发展是一个严格可解模型(Sherrington-Kirkpatrick Model), 这里引入了长程的无规交换相互作用，其将体系所有自旋耦合，无规作用的分布本身假定了非零一阶矩（为了同时考虑周期序），二阶矩反比于体系的自旋数目。SK 之所以要引入长程作用，是受到一个启发：在伊辛模型中，如果引入无穷范围(infinite range)交换作用，则平均场解是严格的。因此，在自旋玻璃理论里，考虑到 EA 模型是个平均场近似，为了基于 EA 构造一个严格解，SK 构造了长程交换作用的 SK 模型。这些工作里都用了复本方法，但是假定了复本对称。下边的发现是自旋玻璃相变温度之下，发现负熵，这标记了复本对称解是不稳定的。然后是在复本空间中，对于EA/SK Model, 讨论一步复本对称破缺，以及 Parisi 的突破，讨论复本对称破缺(RSB)的 Hierarchy, 这个解对于所有的涨落均稳定。

(2) 复本方法虽然是在求无序平均时引入的一种数学技巧，然而其真正非平庸的地方在于其蕴含了统计体系相空间的结构。这一点最好地反应在 Parisi 的工作中。

复本对称的解是不稳定的，表现出低温自旋玻璃相的负熵问题。Parisi 的完全复本对称破缺稳定解恢复了零熵。数学复本对称破缺对应的正确物理是相空间遍历性破缺，破缺成许多族遍历区域，其间不能通过破缺的对称性联系，体现了体系的多种有序化方式。一般的有序化相变，伴随的遍历性破缺只会在相空间形成一族由破缺对称所联系的遍历区域，是复本对称的。

5. 朗道-栗弗席兹三卷

朗道-栗弗席兹十卷受益了几代理论物理学家，可是，鲜有人知朗道-栗弗席兹三卷。

由于理论物理发展迅速，十卷难以避免的厚到了对非专业的理论物理研究者极不友好的程度，朗道因此考虑基于十卷，另出一套简化版教程，摘取的内容是工作于物理学各个分支的研究人员都应该吸收的。然而，在将这个想法付诸实现之前，朗道出了车祸。因此，三卷实际上是栗弗席兹独立完成的。为了使精简的内容保持一定的完备性，在简单摘取以外，栗弗席兹还做了一定的重写。三卷的前两卷在朗道去世后相继出版，可是我未曾见到过第三卷，不知道有没有按计划完成和出版。

遗憾的是，三卷简化版理论物理教程不仅鲜有人知，甚至在官方公布的朗道作品中也没有收录。考虑到栗弗席兹对三卷所做的努力和工作，我认为这是不公平的。

栗弗席兹本人是一位出色的理论物理学家，除了朗道-栗弗席兹十卷和三卷的合作撰写外，对理论物理还有许多原创性的重要贡献。可是，一定程度上，栗弗席兹被朗道的光辉掩盖了。

6. 长程作用力

长程相互作用力的一个代表特征是：长程力引入系统的长程关联，导致(广延)物理量的计算失去局域性，例如宏观体间相互作用力的计算不再有对加和性(pairwise summation)。

这个长程关联特点使得将分子间力推广到宏观介质间力计算时，直接采用对求和的 Hamaker-type 计算是错误的。

Casimir 和 Polder 计算了考虑相对论效应的分子间 retarded 作用力之后，开始讨论宏观体间作用。在 Bohr 的启发下，Casimir 放弃了从分子间力得到宏观力的思路，转而讨论宏观体之间介质的涨落谱，从零温下的真空涨落谱得到了著名的卡西米尔力。

将 Casimir 的计算推广到真实宏观体之间在有限温度下相互作用的是 E. M. Lifshitz.  在 Lifshitz 理论里通过涨落-耗散定理（Fluctuation-Dissipation Theorem）对长程关联带来的问题进行了有效的处理。

Lifshitz 理论的计算是如此复杂，以至于 Ginzburg 曾评论道："His calculations were cumbersome that were not even reproduced in the relevant Landau and Lifshitz volume, where, as a rule, all calculations are given."

7. 傅里叶变换和勒让德变换

傅里叶变换(Fourier Transform)建立了态在对偶空间中表象的互换。勒让德变换(Legendre Transform)建立了不变量在对偶空间中表象的互换。在鞍点近似(Saddle Point Approximation)或大偏差理论(Large Deviation Theory)成立的情形下，傅里叶变换等价于勒让德变换。

态分布的傅里叶变换对应态分布的生成函数。取生成函数的对数得到相应的累积生成函数，生成相连关联函数；在鞍点近似或大偏差近似下，对偶空间的累积生成函数构成勒让德变换对。态分布的累积生成函数构成“力学”不变量，在统计力学勒让德变换的意义下不变量对应不同的自由能或热力学函数；在大偏差理论中，不变量被叫作 Rate Function.