Fokker-Planck方程是研究涨落（Fluctuation）现象的重要方程和方法。由于涨落现象在自然界的普遍存在，该方程有从物理，化学，生物，乃至工程学的广泛应用。

    Fokker-Planck方程最早见于处理布朗运动问题（Brownian motion）。宏观的花粉粒子（宏观小微观大）放置于水中时，经历热运动水分子（微观）的随机碰撞，导致花粉粒子的位置不确定。描述该不确定的花粉粒子位置分布函数满足一个微分方程，即Fokker-Planck方程。

    本文中：1. 我们基于流守恒（current conservation）给出Fokker-Planck方程的一个快速推导；2. 我们指出Fokker-Planck算符的非厄米性，并通过变量代换将Fokker-Planck方程转化成（虚时）薛定谔（Schrodinger）方程。

1. 推导

    写下涨落问题的流矢量，这是一个具有时空分量的4-矢量: j=(j⁰,jⁱ), 这里，时间分量: j₀=P(x,t), 是该涨落问题的概率分布函数。空间分量是熟悉的空间流3-矢量: jⁱ, i=1,2,3.

流守恒:                  (1)

    本问题中，3-矢量j有两部分贡献：外力贡献的drift项和微观随机涨落贡献的diffusion项。为了简化记号，下边我们考虑1维情况，即i=1=x.

Drift项：                             (2)

这里， \Gamma 和 U 分别是 mobility 系数（矩阵）和外势能。

Diffusion项：                               (3)

这里，D是扩散系数，该方程即Fick定理。

    由（1）-（3），我们得到P(x,t)满足的Fokker-Planck方程：

                            (4)

要求无穷远时间后，P趋向定态，于是：

                                          (5)

物理要求该分布是玻尔兹曼分布，因此有:

                                                         (6)

    这是爱因斯坦关系，涨落耗散定理的一种简单形式。物理上很清楚，涨落和耗散都来自于微观自由度的随机运动，因此必然是联系的，进而，因为是热涨落，所有必然出现温度T.

    Fokker-Planck方程的第一项drift速度项是随机微分方程 (Stochastic Differential Equation) 郎之万(Langevin)方程的drift项，而第二项diffusion项来自于郎之万方程的白噪声项。郎之万方程：

                                               (7)

白噪声f满足高斯分布，有：

                           (8)

    下边，我们把Fokker-Planck方程由单变量的（4）推广到一般多变量的形式：

                      (9)

这里的写法采用了爱因斯坦求和约定。

2. 从Fokker-Planck方程到Schrodinge方程

    仍然采用单变量形式。我们将方程（4）写成如下算符形式：

                                                         (10)

这里定义了Fokker-Planck算符L.简单计算可得：

                                         (11)

这里，方便起见，我们设\Gamma=1.我们注意到，由于一阶导数项\partial_x的存在，Fokker-Planck算符不是厄米（Hermite）算符。

    现在，我们通过变量代换消去L算符中的非厄米项。构建一个厄米算符。

定义：                                   （12）

其中，P_s(x) 是定态解。将定义（12）代入Fokker-Planck算符L, 我们得到：

                                                      (13)

这里的H算符：                            (14)

显然，H算符没有一阶非厄米项，是个厄米算符。此时，Fokker-Planck方程转化为：

                                                           (15)

这是一个（虚时）薛定谔方程。