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“卷积”是什么?

已有 39096 次阅读 2011-3-23 14:10 |个人分类:数学故事|系统分类:教学心得| 教学, 卷积

 

看到科学网上几篇关于卷积的博文,也颇为受益。的确,卷积是一个极为重要的运算,其定义事实上是自然的。但由于我们教材中过于拘泥于形式,从而使得学生感觉这是个天上掉下来的东西。我第一次接触卷积之时便有此感觉。不过,在后期逐渐接触之中,形成了一些自己的浅见,并在课堂之上经常提起。仅记于此,以为交流之便宜。

首先,卷积的定义是如何而来?事实上,卷积命名让人有些疏离之感。但是,倘若我们将其称之为“加权平均积”,那便容易接受的多。的确,卷积的离散形式便是人人会用的加权平均,而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑,我们希望对其进行人工处理。那么,最简单的方法就是加权平均。例如,我们想对数据x_j进行修正,可加权平均为
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此处,w为选择的权重,如果可选择0.1等等。
这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式,实际上是两个序列在做离散卷积,其中一个序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......,
另一个序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
将上述简单的思想推而广之,便是一般的卷积。若把序列换为函数,则就是我们通常卷积的定义。这时候,你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过,一个扮演的是权重角色,另一个则扮演被平均的角色。

那么,卷积为什么重要?犹如乘积无处不在,卷积也是无处不在的。究其原因就便是:卷积是频域上的乘积!
但凡对Fourier变换有些了解,便知道一个函数可从两个方面来看:时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜,任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以,很多时候我们如果对一个函数看不清楚,那就在照妖镜里看一下,做一下Fourier变换,便会豁然开朗。而函数的性质,经过Fourier变换之后,也会有与之相对应的性质。例如,函数的光滑性经过Fourier变换后,便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么,函数的乘积经过Fourier变换后,便是卷积!因此,卷积实际上是乘积的另外一面,不过这一面需要借助照妖镜才可以看到,所以让我们感觉有些陌生。卷积,Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此:
                     有卷积的地方,便会有Fourier变换;有Fourier变换的地方,便会有卷积!
想想Fourier变换的应用范围,便不难理解卷积的重要。

说了半天,我们的学生,甚至于数学专业的大学毕业生,为什么会对卷积感觉莫测与神奇呢?我在以前的博文里面提过,我们大学的数学教育似乎比较轻视Fourier变换。事实上,我们承袭了中学数学教育的传统,喜欢在技巧性强的地方大做文章。高等数学里面,两个地方学生花费时间甚多:一是中值定理,一是不定积分。因为这两处最容易出现技巧性强的题目。但是,对于Fourier变换这种带有新思想的地方却着力不足。就像我前面所说:有卷积的地方,便会有Fourier变换。也就不难理解,学生对卷积陌生的根本原因是教学方面对Fourier变换的轻视。



大话卷积
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