对于欧拉，最令我难忘的是眼睛瞎了之后还能做数学，这是很难让人理解的，因为数学推导是要借助纸笔的，如果没有纸笔，前面算的后面就忘记了。而欧拉的心算能力极强，以至于可以抛开纸笔束缚，这当真是前无古人，后无来者！更为有趣的是，另外一个人，却有和欧拉异曲同工之处，就是贝多芬。贝多芬耳聋之后写出了命运交响曲。我也很难想象，一个人耳聋之后是如何写音乐的。因此，我总是怀疑上帝不小心将两个人弄混了，眼瞎之后更适合写音乐，因为听觉会比较敏锐，耳聋之后更适合做数学，因为不容易受外界干扰。偏偏这二位乾坤颠倒。

 

欧拉的工作当然是极多的，而给我印象深刻的是他对无穷级数的纯熟运用以及其超凡的想象力（关于其对无穷级数的运用，可参考其名著《无穷小分析》，里面有超多的级数）。下面我用一个例子来说明他的这两个强项。

Bernoulli对于级数1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...的和很感兴趣，可惜却不能计算出值。于是，他说：如果能有人告诉我这个级数的求和方法，我将十分感激。当然，我们今天知道，这个和是pi^2/6. 最初想到方法计算出该值的是欧拉，我们现在感兴趣的是当初他是如何想出这个方法的，从这个过程我们可以领略到欧拉天马行空般的想象力，不过很可惜，现在的教科书里边，似乎对这个过程很少提到。

 

用类似于证明韦达定理的方法，欧拉注意到，对于多项式

q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2n}x^{2n}

若其根以成对的形式出现，也就是其根为 (+/-)r_1,...,(+/-)r_n

则1/r_1^2+...+1/r_n^2=-a_2/a_0.

这个式子看着有点麻烦，其实是很容易通过多项式分解得到的。

 

将sinx/x展开成无穷级数

1-1/3!x^2+1/5!x^4-...

注意到 sinx/x的根为(+/-)pi, (+/-)2pi,(+/-)3pi.....

如果将sinx/x看成一个多项式，那么用上面的结论，得到

1/pi^2+1/(2pi)^2+1/(3pi)^2+...=-a_2/a_0=1/6

也就是

1+1/2^2+1/3^2+...=pi^2/6.

用这种不严格的方法，欧拉得到了结果。

我第一次看到这个想法的时候，惊讶了好久。在这里边，欧拉最重要的是将sinx看成了一个无穷次的多项式，所以所有关于多项式的结果都可以用一下。

虽然这个过程并不严格，但给人的震撼力，给人的启迪，远比严格的方法来的强烈！