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哥德尔不完全性定理的内容和有效范围 (2) 哥德尔并没有断定什么？

程京德

在前文中，我们已经比较清晰地解释了哥德尔不完全性定理的内涵，说明了哥德尔不完全性定理 [1] 实际上到底断定了什么。本文及续文对一些关于哥德尔不完全性定理的经典介绍和解释指出其有可能造成误解的地方，并且列举一些对哥德尔不完全性定理的典型误解实例，剖析这些误解实例为什么、在哪里是不对的，以期帮助非专业一般人士更准确地理解哥德尔不完全性定理的内涵。如前文所述，由于哥德尔不完全性定理是一个否定性的定理，把误解了它的人们从实际上并不存在的否定性断定的桎梏中解放出来，将会促进大家萌发出更多创新研究的想法，这正是笔者花费时间来写这篇科普文章的根本目的。

王浩先生的“数理逻辑通俗讲话” [2] 大概是对哥德尔不完全性定理给予介绍和解说的最早的中文文献了，因此在国内的影响也比较广泛（笔者本人就不知多少次被问及此书中的相关内容）。王浩先生在“数理逻辑通俗讲话”中对哥德尔第一不完全性定理介绍道：“对任一数学的形式（形式化公理）系统 S 来说，在系统中构造不可判定的数论问题的方法是给定的 (A method is given of constructing, for any formal (formalized axiom) system S of mathematics, a question of number theory undecidable in the system)”。王浩先生在此通俗介绍的下文中对哥德尔第一不完全性定理本质上所依赖前提条件中的三个（笔者的这个表述"本质上所依赖前提条件中的三个"，与本文下面所引用的王浩先生自己的表述“本质上它只依赖于以下三个条件”并不完全相同）做了说明：“这是一个一般的结果，本质上它只依赖于以下三个条件：(a) 公理系统 S 真正是形式的；(b) 系统 S 足够丰富，以展开一个适量的数论；(c)  S 是协调的。” 实际上，因为王浩先生本人是经典数理逻辑学家，又是在中国科学院做讲演，在上面三个前提条件的表述中，忽略了所谓“形式的”和“协调的（亦即，一致的）”都应该是在经典数理逻辑范围和意义下所说的这一重要前提。王浩先生在“数理逻辑通俗讲话”中将哥德尔第二不完全性定理通俗地表述为：“古典数学形式系统不能证明它自己的协调性。或者，满足上面提到的 (a), (b), (c) 的一个系统 S 的协调性借助在 S 中的一个语句 Con(S) 而有自然的表示，但 Con(S) 不能是 S 的一个定理 (No classical formal system of mathematics can prove its own consistency. Or, the consistency of a system S satisfying (a),(b),(c) mentioned above has a netural representation by a sentence Con(S) in S but Con(S) cannot be a theorem of S)”。这里的表述明白地界定了“古典数学形式系统”。

尽管王浩先生对哥德尔第一不完全性定理本质上所依赖前提条件中的三个做了说明，但是，由于（1）王浩先生在前提条件表述中忽略了经典数理逻辑基础这一范围界定，（2）不少读者未必真正理解王浩先生对哥德尔第一不完全性定理本质上依赖的这三个条件之说明（比如说，未必理解“真正是形式的”意味着什么，未必理解“展开一个适量的数论”意味着什么），（3）不少作者仅仅引用王浩先生对哥德尔第一不完全性定理的通俗表述本身而完全未提及这三个前提条件之说明，结果许多误解便由此而产生。对王浩先生表述的哥德尔第一不完全性定理通俗介绍的常见误解如下；

“哥德尔第一不完全性定理断定了任何一个数学形式系统的完全性都是不存在的，都是不完全的。” 这个说法可以认为就是仅仅言及王浩先生所表述的哥德尔第一不完全性定理通俗定性介绍却完全忽略掉其前提条件。从笔者前文中对哥德尔第一不完全性定理的清晰解释我们立刻就可以得知，这种误解毫无根据地扩大了哥德尔第一不完全性定理的有效范围，哥德尔并没有做过如此断定。首先，就被王浩先生在表述中忽略了的经典数理逻辑范围这一前提来说，我们可以基于某个（种）非经典数理逻辑系统来形式化公理化某个数学分支，使得该数学形式系统是（非经典地）“完全的”。其次，如果不考虑前提条件(b),我们当然可以构造出一个（基于经典数理逻辑）的数学形式系统（比如说，把初等数论限制在有穷范围内），使得该数学形式系统是完全的。再次，如果不考虑前提条件(c),对于任何一个其一致性未知的（基于经典数理逻辑）的数学形式系统（一些近代、现代数学分支还没有被形式地证明是一致的），根据经典有效性标准，该数学形式系统当然有可能是完全的。

除了上面这种源于对王浩先生表述的哥德尔第一不完全性定理通俗定性介绍没有完全理解的误解，在非专业一般人士当中还有一种大大偏离了王浩先生表述的误解：“哥德尔第一不完全性定理断定了任何一个数学分支的完全性都是不存在的，都是不完全的”。王浩先生对“数学形式系统”的前提界定被无端地换成了“数学分支”，这种误解简直就完全是胡说了。

王宪钧先生在“数理逻辑引论” [3] 中将哥德尔第一不完全性定理表述为：“一个包括初等数论的形式系统 P，如果是一致的那么就是不完全的”；将哥德尔第二不完全性定理表述为：“如果这样的形式系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证”。王宪钧先生的表述，与王浩先生类似，也忽略了所谓“形式的”和“一致的”都应该是在经典数理逻辑范围和意义下所说的这一重要前提。如果读者不了解这一点，那么还是有可能会导致对哥德尔不完全性定理有效范围的误解。

黄耀枢先生在“数学基础引论” [4] 中基于严谨规范的定义对哥德尔不完全性定理的表述是很清晰准确的。

朱水林先生在“哥德尔不完全性定理” [5] 这一通俗读物（可能是国内第一本也是唯一一本关于哥德尔不完全性定理的通俗读物，对哥德尔不完全性定理的背景、内容、证明有很完整的解说）将哥德尔第一不完全性定理表述为：“在任何包含初等数论的相容的形式系统中，存在着不可判定命题，即命题本身和它的否定在该系统中都不可证”；将哥德尔第二不完全性定理表述为：“一个包含初等数论的形式系统的相容性，在该系统内是不可证明的”。这样的通俗表述是比较准确清晰的，但是还是忽略了经典数理逻辑基础这一范围界定，如果读者不了解这一点，那么还是有可能会导致对哥德尔不完全性定理有效范围的误解。

张家龙先生在“数理逻辑发展史—从莱布尼茨到哥德尔” [6] 中将哥德尔第一不完全性定理通俗地表述为：“在任何包含初等数论的一致的形式系统中，存在着一个命题，该命题和它的否定都不是系统的定理；也就是说，如果形式数论系统是一致的，那么它就是不完全的”；将哥德尔第二不完全性定理通俗地表述为：“形式数论系统的一致性在系统内部是不可证明的。这一定理也可表述为：对强到足以使一切有穷推理都可以在其中形式化的形式系统而言，其有穷的一致性证明不可能在该系统内得到”。这里，对哥德尔不完全性定理的表述忽略了经典数理逻辑基础这一范围界定，对哥德尔第二不完全性定理的表述明确地强调了对有穷方法的要求。另外，必须说明，本书中不但基于严谨规范的定义对哥德尔不完全性定理的表述是很清晰准确的，而且对哥德尔不完全性定理的意义解说的相当全面。

概括地说，凡是与基于经典数理逻辑的形式系统无关的任何逻辑学、数学、计算、人工智能问题（比如，有关任何非形式化系统的问题），都与哥德尔不完全性定理无关，哥德尔的结论并未断定有关这些问题的任何内容。更进一步说，因为经典数理逻辑是基于经典有效性标准和经典二值原理的，形式系统中的可判定性是基于有穷观点的，所以，那些不满足或者超越了经典有效性标准、经典二值原理（包括甚至连逻辑真值都无严格定义的情形）、以及有穷步骤可判定性这些范围的所有问题（比如，有关任何非基于经典数理逻辑的形式系统的问题），也都与哥德尔不完全性定理无关，哥德尔的结论并未断定有关这些问题的任何内容。最后，从本质上来说，哥德尔的结论实际上揭示的是对于一个允许“无穷”的数学形式系统，“有穷”方法的局限性。因此，对于任何一个“有穷”形式系统，其完全性应该在理论上是可以确认的，完全不需要应用哥德尔的结论。

参考文献

1. K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia  Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931. (The summary of the results of  this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.)
Translation: B. Meltzer (translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K.  Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover  Publications, 1992.

2. 王浩, “Popular Lectures on Mathematical Logic,” Science Press and Von Nostrand Reinhold, 1981; “数理逻辑通俗讲话”，科学出版社, 1981; “Popular Lectures on Mathematical Logic (added a postscript),” Dover Publications, 1993.

3. 王宪钧, “数理逻辑引论”，北京大学出版社, 1982(1998年再版).

4. 黄耀枢, “数学基础引论”， 北京大学出版社, 1987年.

5. 朱水林, “哥德尔不完全性定理”，辽宁教育出版社，1987年.

6. 张家龙, “数理逻辑发展史—从莱布尼茨到哥德尔”，社会科学文献出版社，1993年.