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相关逻辑的创始者 – 阿克曼  

程京德

 

威廉·阿克曼(Wilhelm Friedrich Ackermann， 29 March 1896 – 24 December 1962) 是德国数理逻辑学家，师从于希尔伯特(David Hilbert, 23 January 1862 - 14 February 1943)，1925年在哥廷根大学获得博士学位，是相关逻辑的创始者[1]。

阿克曼1925年在哥廷根大学获得博士学位的工作是遵循希尔伯特的有穷方法给出了弱化了的二阶Peano算术的一致性证明。

阿克曼在1928年发现了著名的阿克曼函数(Ackermann function)[2]。阿克曼函数是最早被发现的非原始递归的一般递归函数之一（另外一个是Sudan函数），在可计算性理论中具有重要意义和地位。

阿克曼在1928年帮助希尔伯特将他1917年至1922年关于数理逻辑入门的讲座编写成为一本教科书《数理逻辑原理》[3]，首次阐述了经典一阶谓词逻辑，并提出了它的完备性和判定性问题（Entscheidungs问题）。

阿克曼在1937年为不包含无穷公理的集合论、在1940年为完全的Peano算术、在1952年为无类型逻辑构建了一致性证明。

阿克曼在1956年指出，用一个外延真值函数联结词来表达条件句是有问题的，应该用一个初始内涵联结词来表达条件句[1]，这在逻辑学史上是一个极其具有革新性的思想，也是相关逻辑这个领域的发端。阿克曼提出一个新的内涵逻辑联结词，称为“Strengen Implikation(rigorous implication,严密蕴涵)”（这里用=>来表达），用其来表达条件句，并且说到，“严密蕴涵，我们写为A=>B，应该表达A和B之间存在逻辑连接这个事实，B的内容是A的内容的一部分，或者人们希望表达它的方式。这个表达与A或B的真假无关。因此，人们应该拒绝逻辑式A=>(B=>A)的有效性，因为它允许从B=>A的A进行推理，而A的真值与B和A之间是否存在逻辑连接无关 (Rigorous implication, which we write as A=>B, should express the fact that a logical connection holds between A and B, that the content of B is part of that of A, or however one wishes to express it.  That has nothing to do with the truth of falsity of A or B.  Thus one would reject the validity of the formula A=>(B=>A), since it permits the inference from A of B=>A, and since the truth of A has nothing to do with whether a logical connection holds between B and A.)”[1,4,5]。阿克曼提出的表达条件句的初始内涵逻辑联结词的思想，后又被 von Wright，Geach，Smiley 三位逻辑学家分别归纳和陈述，现在被称为“The von-Wright-Geach-Smiley criterion for entailment”，简称“WGS criterion”，是关于条件句表达的重要标准[5]。

阿克曼构筑了严密蕴涵的形式逻辑系统 π',这是第一个完整的相关逻辑系统[1,5]。π’从其逻辑定理中成功地完全排除了（经典数理逻辑的）实质蕴涵悖论和（刘易斯模态逻辑的）严格蕴涵悖论。

从1929年到1961年，阿克曼一直担任文法学校（中学）和高中的教师。

是金子总会发光。尽管到目前为止，阿克曼开辟相关逻辑领域的成就还未普遍为世人所知，笔者相信，伴随着相关逻辑之重要性今后在人类社会中的被认识，阿克曼创建相关逻辑的历史功绩，必将被作为其最主要功绩载入史册。

 

参考文献

[1] W. Ackermann, “Begrundung Einer Strengen Implikation,” The Journal of Symbolic Logic, Vol. 21, pp. 113-128, 1956 (in German).

[2] W. Ackermann, “Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen,” Mathematische Annalen., Vol. 99, pp. 118–133, 1928 (in German).

[3] D. Hilbert and W. Ackermann, “Grundzüge der theoretischen Logik,” 1928(1st Ed.), 1938(2nd Ed.), 1949(3rd Ed.), 1959(6th Ed.), Springer-Verlag (in German). 
English translation: “Principles of Mathematical Logic,” AMS Chelsea Publishing, 1950 (translation of the 1938 second edition). 
中译(莫绍揆译): “数理逻辑基础”(第三版)，1958.

[4] L. Haaparanta (Ed.), “The Development of Modern Logic,” Oxford University Press, 2009. 

[5] A. R. Anderson and N. D. Belnap Jr., “Entailment: The Logic of Relevance and Necessity,” Vol.I, Princeton University Press, Princeton, 1975. 

(2023年5月15日记)

微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”

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