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推理与证明之不同

程京德

“推理(reasoning)”与“证明(proving)”是两个经常出现在逻辑学、数学、诸科学的著述及学术文献中的词汇/概念，它们偶尔也会出现在工程实践的著述及技术文献当中。在科学研究或者工程实践中，还有一些词汇/概念是与“推理”和“证明”相关联的，它们是：与“推理”相关的“发现”及“预测”，与“证明”相关的“验证”。

遗憾的是，“推理”和“证明”这两个在本质上意义有所不同的词汇/概念被混淆使用的事例比比皆是，甚至在教科书中也会被混淆。本文意在澄清这两个词汇/概念（实际上撰写本文的动机是为介绍相关逻辑做一点准备）。

“推理”是从给定的前提得出新结论的过程，这些前提是已知的事实或预先假定的假设，它们为结论提供某些证据。通常，“推理”由具有一定顺序的多个论证(argument)（推论(inference)）组成，亦即，“推理”是一个有序的过程。

我们来看一个推理的实例：

（1）若一个数是有理数，则它一定可以被表达为一对整数之比。
（2）π不能被表达为一对整数之比。
    所以
    （3）π不是一个有理数。
    （4）π是一个数。
        所以
        （5）至少存在一个非有理数（无理数）。

这里，我们用一步论证先从前提（1）和（2）推出（3）作为结论，又用一步论证从前提（3）和（4）推出（5）作为结论，这样的两步论证构成一个完整的推理，从前提（1），（2）和（4）推出新的结论（5）。

推理是从我们知道的或假设的事物（前提）到我们以前不知道的事物（新结论）的过程。推理本质上是扩展的，即它具有扩展某些事物的功能，增加我们已知或假设的内容。

推理的前提应该为推理的结论提供一些相关的证据。但是，尽管推理的前提旨在为推理的结论提供相关的证据，但它们实际上未必真的做到了这样。所以，我们把真正提供了相关证据的推理认定为是对的/正确的推理，而把没有真正提供了相关证据的推理认定为是错误的/不正确的推理。那么，谁为这种正确性提供判别标准呢？是逻辑学！

另一方面，推理的结论针对其前提应该是新的结论。我们把真正获得了新结论的推理认定为是有效的推理，而把没有真正获得了新结论的推理认定为是无效的推理。那么，谁为这种有效性提供判别标准呢？还是逻辑学！但是，到目前为止，如何形式地且令人满意地定义“新”这一概念仍然是一个棘手的哲学问题。

“证明”是从给定的前提为一个明确指定的陈述寻找理由的过程，这些前提是已知的事实或预先假定的假设，它们为该明确指定的陈述提供某些证据。通常，“证明”由具有一定顺序的多个论证组成，亦即，“证明”是一个有序的过程。将此有序过程描述出来，就构成一个证明描述。

我们来看一个证明的实例，证明：π是一个无理数 

（1）若一个数是有理数，则它一定可以被表达为一对整数之比。
（2）π不能被表达为一对整数之比。
    所以
    （3）π不是一个有理数。
    （4）凡不是有理数的数都是无理数。
        所以
        （5）π是一个无理数。

这里，我们用一步论证先从前提（1）和（2）推出（3）作为结论，又用一步论证从前提（3）和（4）推出需要证明的（5）作为结论，这样的两步论证构成一个完整的证明，从前提（1），（2）和（4）证明了结论（5）。

推理和证明之间最本质的区别在于，前者本质上是规范性/规定性和预测性的，而后者本质上是描述性和非预测性的。推理的目的是找到一些以前未知或未被识别的新陈述，而证明的目的是为一些以前已知或假设的某些陈述找到理由。证明有一个明确指定的陈述作为其目标，而推理则没有。

典型的推理模式为：从 A，B，C，…，我们能说些什么？在推理结束之前，我们并不知道从这些前提到底能够得出什么结论。

典型的证明模式为：从 A，B，C，…，我们能说 D 吗？在证明结束之前，我们确切地知道我们必须从前提出发证明什么陈述是对的。

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