近来，在《科学网博客》发了一些文章，这些文章有些是我过去的讲义，有些是我的读书笔记，没想到得到科学网和许多热心朋友的厚爱和鼓励，在此向所有浏览我的博客和留言朋友表示感谢。

目前我个人的关注是在逻辑、数学、语言、计算和哲学的交叉点，很难用一门学科加以概括，但是这些学问的基础是相同的，这就是逻辑。以逻辑为中心点，做若干条线段，就可以到达几个彼岸：

数学：自19世纪以来发生的数学危机以及后来人对这种危机的管控，导致了对数学的形式化的研究，导致了现代数学其基本语言就是一阶谓词逻辑，而其具体的实现，一是集合论，二是算术语言，三就是范畴论。

语言学：逻辑学对语言的关心不是一个学科对另一个学科的关心，而是将语言问题当做逻辑自身的核心问题之一。本质上，现代符号逻辑的一个重大使命就是成为其它科学的形式语言，因此逻辑学研究的起点就是对语言问题的研究——所谓形式系统，首先是一个形式语言系统。具体到语言学——对自然语言、人类日常语言的研究，自1957年《句法结构》的发表，以乔姆斯基为代表的生成语法理论风靡全球，这个理论的理论基础就是Emil Post提出的基于可证明性的产生式系统的形式句法；换句话说，乔氏早期的理论，吸收了许多逻辑学30年代的研究成果。而对自然语言语义的研究则发端于Montague，塔尔斯基的学生，一位逻辑学家。Montague对自然语言语义的最初动机，来自于Bar-Hillel向乔姆斯基的建议——将逻辑学的形式句法和语义研究引入到当时流行的结构主义语言学中来。在谓词逻辑的教学活动中，通常有一项练习是将一阶谓词语言和自然语言（英语）互译。Montague发现这个过程的某个部分是机械式的，可以形式化，这样，一阶语言的表达式就可以成为对自然语言句子语义解释，沿着这个方向走下去就使得逻辑成为了自然语言语义形式化的语言。

计算：计算的本质是形式系统的演绎过程的形式化。前面讲的是将一阶语言用于数学的形式化，语言学的形式化，但是能否描述自身的形式化过程呢？哥德尔对算术公理系统的研究证明无法做到：一致性和完备性不可兼得。但是如果不将这个形式系统运用到其它公理系统仅仅作为一个演绎过程，那么其研究就变成了这样一些问题：如何定义这个过程的边界？如何知道这个过程一定可以推演出“正确的”结果？这个所谓“演绎过程”应当是什么？图灵对此问题给出的答案是图灵机，而丘奇给出的λ-演算，柯里给出的是组合子逻辑，波斯特给出的是产生式系统，克里尼给出的是递归函数模型，然后还有马尔科夫算法，一共是六类。

这样的研究使得逻辑发生了根本性变化——函数成为逻辑学的基本元素。这样，就造成了逻辑学的两个发展方向：以集合为基本元素的逻辑和以函数为基本元素的逻辑。这两类逻辑的实质就是我在《浅谈类型论》和《如何从逻辑走向计算》两文都提到SICP的作者的观点——陈述性知识和过程性知识。

有些朋友对《数理逻辑发展的动机》一文提出批评，说为什么没有提到哥德尔，甚至有人认为没有提到哥德尔就是误导。哥德尔无疑是伟大的逻辑学家，在上述几个模型中都有哥德尔贡献；在集合论领域，哥德尔是Neumann-Bernays-Gödel公理集合论（简称：NBG公理集合论）的贡献者之一，这是一种不同于ZFC的集合论理论；哥德尔还是Herbrand-Gödel递归函数和可计算函数的创始人之一。最重要的，哥德尔那两篇划时代论文，是任何图灵完备的计算体系理论架构的理论基础。但是，哥德尔的逻辑体系，源自于德摩根-皮尔斯-施罗德-勒文海姆-塔尔斯基体系，与主流的逻辑主义、形式主义和20世纪后半期重新受到重视的直觉主义学派不太相同，因此在这样一篇短文中把哥德尔的学说说清楚并且说得谁都听得懂，对我是巨大的挑战，因此说不清楚还不如不说。没有提哥德尔的另一个主要原因是，此文的主要目的是接续我前面关于组合子逻辑和lambda演算与逻辑学传统的历史传承，以及逻辑和计算的演变关系。为了突出这个主题不可能面面俱到。

哲学：自亚里士多德时代起，逻辑就一直是哲学的仆人，它是现代逻辑产生前西方哲学的表述外壳。到了19世纪，数学危机的出现，使得许多数学家开始思考数学的意义，戴德金那篇最著名的关于数学基础的论文就是《Was sind und was sollen die Zahlen?》(数是什么？数应当是什么？)。对这个问题以及对集合论所引发的悖论问题的思考，使得现代逻辑问题背后都有哲学的身影，由于篇幅关系，这个问题容后展开讨论。

如果将上面的议论归结起来那就是：所谓数学的形式化、语言学的形式化、计算科学的形式化、哲学的形式化，其实就是这些学科的逻辑化，用逻辑的语言对对象学科进行逻辑重构，基本工具就是集合论、函数论、以一阶语言为核心的演绎规则。当然语言学要用到更复杂的逻辑系统。

这篇小文留下了许多“容后再说”的空白，今后会慢慢补上。本文的主题想回到逻辑学的第一课：初学逻辑应当从哪里开始？这篇小文原来发在了《豆瓣·逻辑小站》上，是为没有逻辑背景的人写的。现在看来要把逻辑的来龙去脉说清楚不至于引起误解其实也不容易，因此就把这篇文章做了局部调整后放到这里。

逻辑初步—— 学习逻辑应当从哪里开始？

一、从哪里开始？

逻辑学是一门博大精深的学问，这门学问所覆盖的领域包括了哲学、数学、计算机科学、人工智能和语言学。除此之外逻辑学还是学习法律的基础课程，同时又是所有科学包括人文科学和自然科学在内都必须掌握的基础知识。

我们知道，生物中人类和其它动物的最大区别就是语言和思想。人具有思考的能力，具有把思考的过程和结果外现化（我们称之为“表达”）的能力。如果把这种能力用一种固定的公式化的方法表示出来，而这种表示与思考、表达的内容无关、而只和表达的形式有关，那么这种形式上程式化的方法就是一种逻辑。之所以说是“一种逻辑”，是指任何会思考的人类，都会循着一定的无意识的认知能力，对周围的事物做出各自的判断、归纳和推理。如果两个人、两组人群对同一事物、存在、过程，根据各自不同的背景、经验、理论、信仰做出不同的判断、归纳和推理，就会形成不同的结论，而当这两种不同的结论发生冲突时，就会产生辩论，而辩论双方都会根据“公认的法则”（即双方都认为是有效的推理规律）力图证明己方的结论是合理的，对方的结论是不合理的。但是由于辩论双方各自的前提、假设、出发点和推理的方法不同，因此就形成了不同的“逻辑”。这就是法律、法院存在的理由。某项法律是对某些特定事件前提、假设的标准设定，所有辩论方都必须以此为论辩前提、假设和出发点。因此，法律的存在，消除了辩论双方因各自“逻辑”不同产生的结论冲突。

既然所有的人都会有各自的人生观、信仰，那么这个世界上就会有千千万万种逻辑。例如，以“金钱是一切人生幸福和荣耀的根本源泉”的人，在做任何判断时，都会以“利”作为判断的基准。信仰“人不为己天诛地灭”的人，在任何事情发生时只会考虑自己的利益。这种人在对任何事情做出判断时首先考虑的是，这事是否于我有利。即使是基本信念相同的人，由于各自的背景、教育、人生经历的不同，对事物的判断推理过程和结论也不相同。除此之外，由于动物的自卫本能，当自己的判断、推理、信念受到攻击时，所有人都会“本能地”利用自己潜在的推理知识为自己辩护，正当化自己的行为、言论和判断。

到了20世纪后半叶，信息革命的兴起，使得判断推理不再是人类的专利。作为人类智能延伸工具的计算机，也开始具有逻辑运算的功能，尽管这种功能在人类面前还十分初级。计算机可以做任何复杂的逻辑运算，并将这种运算转换为其它运算，例如算术运算等。利用计算机进行逻辑推理、这一直是人工智能研究的重点之一。

而作为人类智慧的最高结晶——数学，则彻底剥离了人类在思考世界其它事物时的“偏见”——每个人所拥有的“个性逻辑”，使得所有研究数学的人，必须遵循一个一致的、完备的方法才能得到不矛盾的结论和结果。人类对数学的了解越深入，就越需要这种方法，这就促使数学家们找到一个比我们常见的判断、归纳、推理模式更为精确的方式完成数学研究的任务——证明。证明，是数学家们展示自己世界和研究成果的唯一方式，任何数学成果，都必须以定理的形式体现，而定理之所以成立，就是证明，而证明则是数学中对判断、归纳和推理的标准术语。可以说，数学的生命在于证明，证明的基础就是判断、归纳和推理。而数学证明，是最纯净化的、没有世俗、没有偏见、没有形形色色各种“个性逻辑”掺杂的判断、归纳和推理。

通过上面的议论，我们的结论是：人类思考、表达思想的过程就是判断、归纳和推理和结论，这是我们人类认识世界从事任何事业时最主要的精神活动。老板对一个项目是否投资、个人在工作中是继续维持还是跳槽等、都需要做出决策，每个人的决策过程尽管不同，但都因循着判断、归纳、推理这个模式得到自己满意的结论。因此， 判断、归纳、推理、结论 是任何人在这个世界上都必然具有的精神活动。这四个概念就是我们学习逻辑的出发点。

二、什么是逻辑？

对此，我们先不必忙着下定义，只要将我们在第一部分谈到的4个关键词：判断、归纳、推理和结论没有忘记即可。也就是说，所有逻辑学的内容，都和这4个关键词有关。

说到“判断”，实际上是我们对世界的认知；当我们对世界的某个部分有了了解，获得了比较系统的认知后所获得的“知识”。例如，跟一个人相处、在一个单位工作一段时间后，我们都可以对这个人、这个单位作出判断，作为我们对这个认知对象的知识。国外有个求职网站叫Indeed，在这里求职者就可以找到目前或者曾经在这个单位工作的评价，作为后来者的参考。这些评价，就可以构成判断。“这家公司的薪水不错但是公司文化不适合我”，“和我处事的主管人很不错，从他身上可以学到许多东西”，等。这些判断合在一起就构成了我们对这个谈论对象的“知识”。 当然，这些判断基本都在我们的生活常识内，例如“薪水不错”，并没有明确具体数额，但是一般人仍然会根据经验、市场等得到相应的期望值。

“判断”的更大用处出现在教科书。任何教科书的任务是传授知识，而传授的媒介是语言，语言所表达的内容格式就是判断，可以说，教科书中所有传达知识的句子都是判断句，特别是对概念的定义、说明更是如此。因此，理解判断也是我们学习新知识的基本能力之一。 而构成“判断”的句子，大致上是由代表概念的名称和和代表属性的谓词两个部分组成。因此，要了解判断，就要了解“概念”是什么，“属性”是什么，而对“概念”、“属性”的了解，则要深入到哲学领域，从人类精神与世界的互动中把握、理解。

判断，只是对某概念、属性的表述，而现实世界的知识是由多个判断构成，从这些判断中，我们可以决策，得到我们希望的结论。在这个过程中，每个判断都不是孤立的，后面的判断包含前面判断的概念。而一般的，最后的判断（结论）要依赖于前面的判断，这样我们才能做决策。这个过程就是“推理”。而推理形式有两种，第一、我们从个别事实中总结规律；和朋友约会，那个人第一次迟到了、第二次迟到了、第三次迟到了，或许我们就会归纳得到判断：此人经常迟到。第二，从一般的规律推断个别事实；凡假日公司大部分员工不上班；今天大部分员工没上班，所以今天是假日。还有一些“站不住脚的”推理。例如，在公园门口我看到一个人没买票就进去了；既然他没买票就进去了，是否我也能够？因此，在日常生活中，我们随时要做判断、推理、归纳，作为我们处世做人知识的积累；同时我们也在接受吸收教科书、老师授课所传达的判断、推理和归纳作为另一类知识的积累。人生的所谓阅历、经验和知识其实就是这种判断、推理、归纳过程的反复、从而积累了大量对世界的对象、事件等作出结论的根据；换句话说，任何有经验的人其实就是在应对某些事物、对象、过程中能够迅速作出正确结论的人，而之所以能够如此，有两个方面的知识积累：第一，对事物本身的经验，第二、对应对此类事物、对象、过程的推理经验。

因此，判断、归纳、推理、结论，对这些行为的外在形式进行系统研究的学问就是逻辑。而对判断进行研究，又和哲学、认识论相关，而哲学思想的表述，也必须借助逻辑的手段才可以完成。从这个意义上，逻辑（表述手段）是哲学（思想）的外壳，哲学是逻辑要表述的内容，亦即，哲学在阐述世界的一般规律时，是以概念、属性、判断、推理这样的形式进行的，因此，学习逻辑意味着我们同时要学习哲学的一些基本概念。而这些，也是我们学习逻辑的起点。因此我们认识逻辑的路线图就是：

1. 什么是概念？什么是属性？

2. 什么是判断？判断的种类有哪些？

3. 什么是推理？推理的形式有哪些？

4. 推理的过程——论证是什么？

5. 从一般的推理过程判断什么样的判断、推理不成立——谬误、悖论和谎言

6. 辩论的一般形式

【补注】

如果通过这篇小文你真的对逻辑开始感兴趣，有两本书是值得一读的：

一、金岳霖主编的《形式逻辑》。此书成书时间较早（1979年），有些语言反映了那个年代意识形态的特点，但却是阐述逻辑基本概念最清晰，逻辑性最强，中文行文最为流畅的教科书，反映了老一代学者学风严谨语言表述准确的特点。

二、斯蒂芬·雷曼著 杨武金译《逻辑的力量》。此书最大特点是包含了亚氏逻辑中的词项逻辑(term logic)和三段论，这是所有后续逻辑学的基础。康德在《纯粹理性批判》中曾经宣称，逻辑，自亚里士多德之后裹足不前，因而在所有方面是一门封闭和自足的知识。(Since Aristotle … logic has not been able to advance a single step, and is thus to all appearance a closed and completed doctrine.)。现代任何逻辑体系，都是建立在亚氏逻辑传统之上的，在这方面，这本书的价值是独特的。除此之外，本书对命题逻辑和证明方法的介绍特别是对德国逻辑学家根岑的自然演绎系统的介绍独树一帜，学完本书，对逻辑学与证明的关系，以至于对逻辑学的分支证明论可以建立起明确的概念。