本回书回到我们久违的伊辛模型。说实话，我葫芦里没有什么好药，只能干什么，吆喝什么。在“科学网”还是要做点促进科学发展的买卖。在这里说一说在探索三维伊辛模型精确解的过程中遇到的巧合之事。我在《追梦》系列已经提到过一些巧合之处：二维正方伊辛模型居里温度的精确解是白银数；二维三角伊辛模型居里温度的精确解是白金数；在我的猜想基础上推定的三维简单立方伊辛模型居里温度的精确解是黄金数。从白银数方程K* = K 或 sinh 2K sinh 2K = 1以及黄金数方程K* = 3K和 sinh 2K sinh 6K = 1的美丽我们可以体验到自然的精妙之处。当然，巧合之处还不仅仅于此。正方伊辛模型居里温度（对应于从0到p所有w值的g ~ K曲线上的极小点）不但可以写成xc = exp(-2Kc) = sq(2)-1 = 0.414213562…，还可以写成sinh 2Kc = 1和cosh 2Kc = sq(2)，从而有K_c = 0.44068679……, 和1/K_c = 2.26918531..….. 简单立方伊辛模型居里温度（对应于w = 0的g ~ K曲线上的极小点）不但可以写成xc = exp(-2Kc) = (sq(5)-1)/2 = 0.618033988…，还可以写成sinh 2Kc = 1/2和cosh 2Kc = sq(5)/2，从而有K_c = 0.24060591…和1/K_c = 4.15617384…. 我们还发现简单立方伊辛模型对应于w = p的g ~ K曲线上的极小点为xd = exp(-2Kd) = (sq(10)-1)/3 = 0.72075922…，还可写成sinh 2Kd = 1/3和cosh 2Kd = sq(10)/3。尽管这个点不对应于任何相变，但在正方和立方伊辛模型中的上述三点sinh 2K = 1、1/2和1/3仍然显示了在自然这两个模型间隐含的内禀关联。下面再比较一下二维正方伊辛模型、二维三角伊辛模型和三维简单立方伊辛模型的居里温度：二维正方伊辛模型的居里温度还可以写成1/tanh Kc = 1 + sq(2) = 2.414213562…；二维三角伊辛模型的居里温度为1/tanh Kc = 2 + sq(3) = 3.732050808…（白金数）；三维简单立方伊辛模型的居里温度1/tanh Kc = 2 + sq(5) = 4.236067977….。值得一提的是，这三个模型的居里温度也隐含着内禀的关联：三个模型的1/tanh Kc值分别等于两个最小的整数之一加上三个最小的无理数之一！巧合啊！

还有一些巧合之处：1）在猜想的基础上推定的三维简单正交晶格伊辛模型的本征值、本征矢量、配分函数、居里温度以及其它物理性能，在三个自旋间交换作用常数之一（或二）为零时，结果自动返回二（或一）维伊辛模型。获得的结果可以在极限条件下自动返回到二维和一维，主要是由我们的猜想的出发条件控制的，也可以归结为“巧合”。2）一个通常的事实是，近似方法越粗糙获得的居里温度越高，分子场理论为零级近似，得到的居里温度值最高。随着计算方法的精确度提高，得到的居里温度值不断下移。在猜想的基础上推定的三维简单立方伊辛模型的居里温度低于所有不同的近似方法（包括分子场理论及其改进理论、Wakefield方法、Bethe近似、Kirkwood方法、低温级数展开、高温级数展开、重正化群理论、蒙特-卡罗模拟等）获得的结果。我们的结果与五十年代Kikuchi方法估计的居里温度范围的最低值极限非常接近，误差在1.6%的范围（我在这里强调与近似方法推算的最低值极限比较，是因为近似方法的结果高于精确解，其推算的最高值极限必定更加远离精确解，仅仅其推算的最低值极限才可能趋近精确解）。更为巧合的是：我们的结果与五十年代Oguchi估计的居里温度范围4.16667 < 1/K_c < 4.7619的低值极限完全吻合，实际上正好落在Oguchi 估计的最低可能值的边界上，误差在~0.25 %。巧合啊巧合！

无巧不成书。1985年著名科学家Rosengren根据对二维伊辛模型的高温状态进行组合学研究（J. Phys. A 19, 1709 (1986)），考虑到对三维简单立方晶格伊辛模型进行可能的推广，提出一个猜想，认为简单立方伊辛模型的居里温度为tanh Kc = (sq(5) - 2) cos (p/8)。他的前一个因子(sq(5) - 2)是直接从晶格行走的组合学研究获得的，而后一个因子cos (p/8)是为了与级数展开、重正化群理论和蒙特-卡罗模拟的数值计算结果吻合而人为添加上去的（迷失于标准之困惑中！）。1995年物理学大腕Fisher 对Rosengren猜想进行了分析（J. Phys. A 28, 6323 (1995)），试图从Rosengren猜想获得三维伊辛模型可能的多项式函数的解析形式。Fisher首先对Rosengren猜想的两个因子进行了评述：一方面，Rosengren从带权重的无返回的晶格行走得到第一个因子(sq(5) - 2)；另一方面，Rosengren的第二个因子cos (p/8)是为了与1981-1984年间发表的数值计算结果对应而凑上去的。所以，我们说Rosengren猜想有点含糊晦涩不是不公平的。尽管如此，Fisher一边批评Rosengren猜想的含糊晦涩，一边又试图从中获得有用的信息。当然，Rosengren猜想本身的混乱给Fisher带来不少误导和困惑。Fisher基本上是一无所获，最后声称三维伊辛模型可能不是任何多项式的根。

在我探索三维伊辛模型精确解的过程中，甚至在得到黄金解以后相当长的一段时间内，我不知道Rosengren猜想和Fisher的文章。主要原因是我只关心精确解的结果，所以我仔细搜索了1970年代之前的工作。1971年Wilson发展重正化群理论后，该领域主流时尚技术是重正化群理论的计算。随着计算机技术的发展，计算机模拟也成为主流。1970年代以后的文献量大面广，在这文献的汪洋大海中很容易迷失方向，也浪费不少的时间和精力。所以，我仅仅查阅了一些有关重正化群理论和计算机模拟的综述报告，没有仔细地查阅1970年代以后的文献。反正知道至今为止还没有三维的精确解对我来讲就够了。另外就是由于我们金属所文献的缺少，没有发表他们工作的期刊。还有就是文献检索的年限的限制、关键词的使用等问题。反正，种种原因导致我一直不知道Rosengren猜想的存在。后来，我将我的文章投到一国际学术刊物，审稿人非要让我与重正化群理论等数值计算结果比较，我才又投入很大的精力进行了1970年代以后的文献检索，无意中搜到了Rosengren和Fisher的两篇文章。我当时的兴奋不亚于捡到一笔意外之财。

说了这半天，我想说明啥？大家从Rosengren猜想的第一个因子tanh Kc = (sq(5) - 2)，立即可以求出其倒数1/tanh Kc = 2 + sq(5)，发现与在我的猜想基础上推定的三维简单立方伊辛模型的居里温度完全一致！当然，也可以很容易地从它反推出黄金数xc = exp(-2Kc) = (sq(5)-1)/2 = 0.618033988…。就是说，在完全不知情的情况下，我推定的简单立方伊辛模型的居里温度与Rosengren根据组合学研究直接得到的因子完全一致（对不起，我不得不说，他的第二个因子是画蛇又添一个足，应该被删去）。这种一致性只能归结为巧合。巧合中的巧合！

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045) 

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325

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