回到伊辛模型，我遇到的标准之困惑就是：到底低温级数展开、高温级数展开是不是判断三维伊辛模型精确解的标准？当然，二维伊辛模型的精确解与低温级数展开、高温级数展开的结果完全一致。至今为止，学术界公认低温级数展开、高温级数展开是精确的，是判断三维伊辛模型精确解的标准。实际上，以前所有三维伊辛模型精确解的报导均是被这个标准挑于马下。如果三维伊辛模型的级数展开与二维伊辛模型的级数展开一样完美无瑕，我也不可能产生一丝困惑。但实际上三维伊辛模型的低温级数展开是一个发散的级数，并随级数项的增加，在临界点处的发散越严重。不可想象，一个封闭形式的精确解的展开项会产生如此严重的发散行为。很难要求一个封闭形式的精确解与这种发散的级数一项项地相等。这就是我产生三维伊辛模型的标准之困惑的根源之一。

简单地介绍一下低温级数展开、高温级数展开。低温级数展开就是从绝对零度完全有序的铁磁态出发，通过反转一个、两个、三个、……n个自旋的指向，来考察系统的能量或某个物理量的变化，通常所用的展开参量为x = e^-2K，它在低温为小参量。高温级数展开就是从无限大温度完全无序的状态出发，根据对完全无序的偏离来进行展开，通常所用的展开参量为k = tanh K，它在高温为小参量。当然，对于伊辛模型，人们可以一项项地写下每个展开项的系数。对低温级数展开、高温级数展开各项展开系数的计算最后归结为组合学和图形学的运算。实际上，高温级数展开就是数系统中每个格点间的相互作用键构成的封闭的多边形几何回路的个数。在二维，低温级数展开、高温级数展开的结果不但收敛，而且在全温度区间与二维伊辛模型的精确解吻合。在三维，我们就没有那么幸运，尽管高温级数展开收敛，但低温级数展开发散。发散的低温级数展开导致一个非物理奇点的出现。非物理奇点的出现可能会使低温级数展开的收敛半径为零。低温级数展开的零收敛半径也可能导致高温级数展开的收敛半径趋于零。这是由于低温级数展开的展开参量与高温级数展开的展开参量有密切的关联，即k = tanh K = (1 – x)/(1 + x)，其中x = e^-2K。应该指出，级数展开归结为图形数的计算，而这些图形数都是一些局域的图形，无法考虑到三维伊辛模型中存在的拓扑学问题实际上已将所有参加相互作用的自旋紧密地联系在一起，存在很强的非局域效应。没有能正确地反映这种非局域效应，可能是低温级数展开发散的原因。例如，自发磁化强度的低温级数展开的首项为–2x⁶，仅考虑了反转一个自旋的指向对三维空间的六个最紧邻的影响，而拓扑学问题的存在实际上意味着是一个(3+1)维系统，应有八个最紧邻，推定的精确解的展开首项为-6x⁸。可能低温级数展开的首项没有能反映拓扑学问题，导致它后面的高阶项需要不断地进行补偿修正，从而出现振荡性发散。

由于计算级数展开系数a_n的工作量是计算其前面所有低阶系数的工作量之和，通常只能算到n = 26的系数。通常是用《标准之困惑-2》中的判据1)通过1/n的方法直接外推低温级数展开的½a_n/a_n+1½到n®¥，得到收敛圆çzç = z₀ » 0.29。但这实际上忽视了另一个可能性：低温级数展开的D_(n+1,n) = (a_n+2/a_n+1 - a_n+1/a_n)在n > 20已稳定为一个小的负值。如果这种趋势继续保持下去，考虑到有无穷多项展开项，n®¥时½a_n+1/a_n½为负无限大，即收敛圆çzç = z₀等于零。在仅仅已知n = 26的系数的情况下，起码这两种可能性同时存在，不能轻易地不考虑另一种可能性。用《标准之困惑-2》中的判据2) 可以得到相同的结论。实际上，如果收敛圆的半径不等于居里温度，则最大可能性就是收敛半径等于零，因为在零和居里温度之间没有特殊的点存在。如果收敛圆的半径等于零，则低温级数展开可能不能作为三维伊辛模型精确解的评价标准，当然，背后的物理机制和本质可以另行深入地探讨。

另一方面，三维伊辛模型的高温级数展开是收敛的。在低温级数展开收敛圆的半径等于零，在半径等于零的收敛圆上出现的非物理奇异点是否能对高温级数展开的收敛半径进行限制？高温级数展开的收敛半径是否趋近于零，以至在无限大温度附近可能存在一个相变？这都是我面临的困惑。根据李-杨相变理论，相变存在的条件是exp (-2H/k_BT)=1。所以，他们得出在零磁场下（H = 0）系统存在相变。但是无限大温度（T = ¥）下，exp (-2H/k_BT)=1也成立，表明在无限大温度系统也有相变的可能。当然，这种相变可能与居里点的性质不尽相同。由于在其它维的伊辛模型的无限大温度处无相变发生，我们推测在三维伊辛模型无限大温度处可能发生相变。如果在无限大温度存在一个相变，则无限大温度和有限温度时系统的物理性质发生根本变化，高温级数展开可能不能作为三维伊辛模型精确解有限温度时的评价标准。

我认为：做为精确解的评判标准的级数展开应该是精确和收敛的，其收敛半径应该保证大于零，并应时刻注意展开参量通常为一个小量。在一维和二维伊辛模型级数展开的偶然胜利不应该做为一个普遍真理无条件地推广到三维伊辛模型。在应用级数展开时，应保持高度的警惕：无论加了多少项修正以及无论展开技术的精度多高，由选择一个初始态加高阶（微扰或非微扰）修正项决定的终态可能远远偏离真实的状态。