我的猜想论文长达100多页，其中充满了闪光点，不泛原创性的思想。除了反方，一个不带有偏见的科学家总可以从中发现闪光之处，引起共鸣。《哲学杂志》的编辑和审稿人认为，我的猜想提供了一个与众不同的解决问题的方案，既然其他方法在几十年时间内都没有解决问题，甚至说毫无进展，那么不如换一个思路试一试。他们当时接受我的猜想论文的初衷就是想刺激一下一潭死水的学术界。即使猜想的结果可能有错误，也有可能激发其他科学家的研究热情和灵感，从而推动整个问题的解决进程。March教授则坚信我的临界指数是正确的。数学军团的数学家们则接受我提出的增加一维打开三维伊辛模型的纽结、建立四元数的本征矢量的思想，因为对他们来讲，从数学上这是最自然而然的事情。

人们对数的认识是从简单到复杂，这与我们教小孩子认识数的顺序基本上一致。首先是认识自然数或者正整数，然后分数、小数，再扩展到负数、复数等等。复数是一个非常重要的概念。复数是由实数加上元素 i 和虚数组成，其中i^2 = -1。复数z=x+iy可以构成一个二维平面，即复平面，可以描述平面内的转动。数学上一个重要的研究领域就是复变函数，是研究以复数为自变量的函数的性质的领域。

那么，有没有比复数更复杂的超复数？

一百七十多年前，这个问题困扰了爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton (1805-1865)许多年。哈密顿就是物理体系中的哈密顿量的那个哈密顿。研究工作成果最大的是光学、力学和四元数，在科学史中影响最大的是他对力学的贡献。哈密顿量是现代物理最重要的量。当时哈密顿试图将复数扩展到更高的维次，复数可视为平面上的点，一个最自然的想法是将复数直接推广到三维空间。但是，无论他怎么尝试，均无法在三维空间构成一个新的代数。哈密顿久思不得其解，研究陷入困境。根据哈密顿记述，他于1843年10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）边散步时突然想到（可以说是顿悟的典型例证） 的方程解。之后哈密顿将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了乘法交换律。在当时还未发展出向量和矩阵的学术界看来，是一个非常极端的想法，故遭到许多人的抨击。

四元数是最简单的超复数。 复数是由实数加上和虚数（元素 i）组成，其中i^2 = -1。 四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk。四元数可以用泡利矩阵表示，自然地描述三维空间的旋转。

可以将四元数中i、j、k本身的几何意义理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，类似地，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转。-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转

四元数代数仍旧存在乘法的结合律、非零元素，仍有唯一的逆元素。但是，四元数代数的乘法不符合交换律（commutative law），故四元数是复数的不可交换延伸。如把复数的集合考虑成二维实数空间，则四元数的集合可以考虑成多维实数空间，四元数就代表着一个四维空间。四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些出人意料的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。单位四元数可以表示四维空间中的一个转动。所有单位四元数的集合组成一个三维球S³和在乘法下的一个群（一个李群）。S³是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO（3,R）的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S³和SU（2）同构，SU（2）是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。

四元数代数向更高的维度的推广，如复数四元数、八元数等。

四元数代数与物理的联系，如四元数量子力学、四元数与狭义相对论。四元数与狭义相对论的关系很好理解。狭义相对论的时空观中，有三个实数坐标为空间、一个虚数坐标为时间。四元数代数正好反过来了，有三个虚数、一个实数，如果将这三个虚数、一个实数转变成三个实数、一个虚数则正好可以描述狭义相对论的时空。由于四元数代数可以自然低描述大自然的物理体系，所以，也有人将四元数代数称为自然代数。

四元数代数与三维伊辛模型怎么拉上关系的？在我提出两个猜想的论文中，我构建了一个四元数本征函数。因为对于二维伊辛模型，沿着一个维度方向做周期性边界条件后，二维伊辛模型的本征函数是一个一维向量（与做周期性边界条件的那一维一起构成一个复数平面）。对于三维伊辛模型，沿着一个维度方向做周期性边界条件后，仅仅有两维向量，根据猜想需要增加一个维度，从而总共有三个维度的向量，构成一个四元数本征函数（与做周期性边界条件的那一维一起构成一个四元数（3+1）维度空间）。在我的三维伊辛模型精确解的猜想中，扩展一维空间打开三维空间的纽结，实际上就是需要在四维空间做一个旋转变换，而构建四元数的本征矢量正好可以满足四维空间中的一个转动的要求。这充分表明我的两个猜想是互补的，也是自洽的。我通过增加一个维度来构建三维伊辛模型的四元数本征矢量的思路与哈密顿增加一个虚数维度构建四元数的思路有异曲同工之妙。Lawrynowicz教授为代表的数学家高度赞赏我构建的三维伊辛模型四元数本征函数，因为四元数满足约当(Jordan)代数，可以用约当代数的乘法来解决三维伊辛模型中算符的不对易性问题。

关于约当代数以及三维伊辛模型中的约当-冯·诺依曼-维格纳(Jordan-von Neumann-Wigner)机制，请听下回分解。

参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：

1. 提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2. 初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

   https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3. 证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2