关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/5/2 - 5/7

柳渝：

我几乎读完了哥德尔原文的第二章，基本上可以确定，哥德尔构建的 “为真但不可证明”的命题，基本上还是一个说谎者悖论。如果我的解读是有道理的话，那么就表明哥德尔的证明中存在的是大错误而不是小错误。

哥德尔的原文第二章看起来很难读，但实际上并非如此。我们已经在哥德尔不完全性定理的外部谈论了很多，或许现在我们需要看看内部。有感兴趣的人一起阅读第二章吗？

BasicRabbit：

@ 柳渝，如果没有读过第一章，不知道哥德尔本人对哥德尔定理的原始陈述，我就无法对第二章感兴趣。但由于我已经退休，我没有机会进入大学图书馆。在03/04 21h59的评论中，我只问你哥德尔是如何谈论他的定理所适用的理论的一致性的：句法一致性（内部不矛盾），语义一致性（外部模型的存在），没有任何其他精确度的一致性。

我在这里所做的，是为了帮助你。我已经在这里写过，对你或对PJ说，我很长时间以来对一般的形式逻辑不感兴趣，因此对不完全性定理也不特别感兴趣了。也就是说，分析哲学一直旨在消除自然语言的模糊性，以及人们可以据此决定以该语言表述的断言的真实性的原则，而这种哲学在试图理解我们如何信任我们自己的自然语言（对你来说是中文，对我来说是法语）方面仍有意义，这些语言包含悖论：白马非马等。

对我来说，这个问题最深刻的答案是策梅洛给哥德尔的答案(1)：应用于PA1的不完备性定理在ZF中是正确的，因为假设ZF在语义上是矛盾的(存在一个ZF的外部模型--哪里？--)，那么我们有一个PA1的标准模型存在于ZF的这个模型内部，哥德尔的陈述(仅限于PA1)是ZF的一个定理，一个比PA1更强有力的理论。

柳渝：

谢谢你的帮助！我完全同意! 哥德尔文章的第1章对他的证明思想进行了非形式化介绍，而第2章对他的证明思想进行形式化，因此第1章非常重要，值得一读!

策梅洛对哥德尔的批评是很严重的！在他的信中，他告知哥德尔，他认为哥德尔证明中存在一个“essential gap（ 重要的漏洞）”。

我认为，策梅洛的质疑与我想在我们的讨论中阐明“真”一词的意义相吻合（Yu LI 25 AVRIL 2022）：

在我看来，“真”这个词有两个含义：

1，存在意义：虚与实（vrai，imaginaire）;

2，真理意义：真与假（vrai, faux)。

P.S.:

1. 哥德尔文章的英文译本：https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mathematica_and_Related_Systems_1992.pdf

2. 策梅洛的信的中文译文：https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1337163.html

BasicRabbit：

我在04/04 5:41的评论中给出了我的立场—我认为与策梅洛的立场相同：

“对我来说，这个问题最深刻的答案是策梅洛给哥德尔的答案(1)：应用于PA1的不完备性定理在ZF中是正确的，因为假设ZF在语义上是矛盾的(存在ZF的外部模型—哪里?—)，那么我们有PA1的标准模型存在于ZF的这个模型内部，哥德尔的声明(限于PA1)是ZF的定理，一个比PA1更强大的理论。”

所以我重复我在评论中提出的问题，你一定有一个直接的答案，因为你面前有哥德尔不完全性定理的原始陈述。问题是：哥德尔说的是句法一致性（内部一致性）、语义一致性（外部一致性—在哪里？—还是不指明的一致性？对我来说，这必须是语义上的一致性，PA1的“标准”模型必须是在ZF中构建的模型，那么哥德尔定理（仅对PA1而言）就是ZF的定理。我想象哥德尔非常清楚这一点，因为他熟悉ZF的“标准”模型，即可构造集的子模型。

柳渝：

我不认为策梅洛是在挑战哥德尔关于PA或ZF不完备性的主张，因为PA或ZF中确实存在“不可判定的问题”，比如古德斯坦定理在PA中是不可判定的，还有 Collatz猜想（到目前为止可以认为是PA或ZF中“潜在的不可判定的问题”）。

策梅洛的批评更多的是关于哥德尔证明的有效性，他认为哥德尔的证明中存在一个essential gap。如果策梅洛的挑战是有道理的话，那么就意味着“形式系统的不完全性”并不是被哥德尔“证明”出来的， …