撰写小说《红与黑》的法国著名作家司汤达（Stendhal，1783－1842）在他的自传小说《亨利·勃吕拉传》中，叙述了因没有人能跟他解释负负为何得正而让他对数学失望的往事，故事虽短却意味深长，实际上揭示了西方学术思想和理论中形式语言与自然语言纠缠，这一最令人困惑的现象。

一，司汤达不解“负负得正”

司汤达说，“我对数学的热情也许是源于我对虚伪深恶痛绝。在我单纯的少年时代，我认为在数学中不可能有虚伪，而且所有那些据知应用了数学的学科也同样如此。于是当我发现没有人能跟我解释负负为何得正（- × - = +）时，我无所适从了。（这是称为代数的学科的基本规则之一。）

比解释不了这个难点（我想它大概还是应该可以被解释的，毕竟它引出正确结果）还糟的是，更有人拿他们自己都搞不清楚的理由来向我解释。”

司汤达的数学老师Chabert先生被司汤达问得十分尴尬，不断重复课程内容，说什么负债如同负数，而司汤达恰恰是对那些话有疑问：“一个人怎么能把10 000法郎（注：2002年前法国的法定货币单位）的债务与500法郎的债务乘起来，得到5 000 000法郎的收入呢？”

最终Chabert先生只得搬出大数学家欧拉和拉格朗日来：“他们应该不比你差吧，也接受了这条规则，。。。 ”；

无可奈何，司汤达只好安慰自己：“我于是得出结论，而且如今还这样认为：负负必须得正，因为显而易见，每次运用这个计算规则，我们总能得到真确无可质疑的结果。”

二，“负负得正”的通常解释

“负负得正”作为乘法规则，一般有二种解释：形式语言的一般性解释，自然语言的具体举例说明。

1，形式语言的一般性解释

对“负负得正”的形式化解释，是基于乘法的分配律 a×(b+c) = a×b + a×c ：

比如，5×3=(10-5)×(6-3)=(10-5)×6+(10-5)×(-3)＝10×6+(-5)×6+10×(-3)+(-5)×(-3)＝15，其中(-5)×(-3)＝15。

将此过程一般化，得：(-a)×(-b)＝a×b。

2，自然语言的具体说明

美国数学史家和数学教育家克莱因（Morris Kline，1908 – 1992）认为，“如果记住现实意义，那么负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解的。”于是，他给出了一个具体例子来说明：

一个人每天支出5美元（记作-5），给定日期他花光了钱，其存款为0美元，那么3天后他将欠债15美元，可用数学式来表达：(-5)×3。同样，给定日期的3天前，他的存款应为15美元，如果用-3表示3天前，那么3天前他的存款可表达为：(-5)×(-3)=15。

三，解析“负负得正”隐含的层次观念

可以看到，上述二种解释是完全独立的，形式语言解释的“负负得正”，就是司汤达的老师搬出的数学规则，但无法说明司汤达的“负债×负债＝收入”的问题，才让司汤达失望的：“究竟是Chabert先生在骗我呢（就像我到外公家来做弥撒的那些神甫一样），还是数学本身是一场骗局？”

克莱因的直观举例虽然解释了“负负得正”的意义，却未对“负负得正”中的二个“负”进行辨析，还嫌不足。这里，我们从层次的角度来进一步分析克莱因的直观解释：

首先，乘法a×n表达将一个数a相加n次，a可以是正数也可以是负数，比如：5×3＝5+5+5；(-5)×3=(-5)+(-5)+(-5)。那么，对于(-5)×(-3)＝(-1)×((-5)×3)＝(-1)×(-15)＝15，其中的二个“负”意义有别：第一个“负”指“负数”，即(-5)×3中的(-5)；第二个“负”指“负号”，即(-1)×(-15)中的(-1)。

再表述克莱因的解释：

一个人每天支出5美元（记作-5），给定日期他花光了钱，其存款为0美元，那么3天后他将支出15美元：(-5)×3＝-15。同样，给定日期的3天前，他的存款应为15美元：(-1)×(-15)=15。

由此可见，在司汤达的表达式“(-10 000)×(-500)＝5 000 000”的错误在于，混淆了“负负得正”中二个“负”的层次，也就是人们常说的“量纲”的错误：法郎×法郎不等于法郎。

像这样的层次分析，无法在形式语言中进行，只能在自然语言中实现，然而由于西方的自然语言与逻辑形式语言是二个完全分离的系统，使得这样分析仍然很艰难，正是在此意义上中文具有与之互补的作用。在中文的语境中，“负负得正”可作如下表达：负（动词，反）负（名词，负数）得正（名词，正数）。

这是中文表达的特殊之处，同一个字可以作为动词、名词等使用，将表达发挥到极致 － 一种极简的优美，却层次分明。

四，形式语言与自然语言：大象无形

自然语言与逻辑形式语言的不同及对这两者不同的认识已成为了一种常识，西方的知识体系特别地发展了形式化的方法体系，这是近代以来科学技术的客观性和确定性的基础，是有内容与形式、语义与语法、分析与综合、经验与理性……成为西方学术思想和理论最基本的体系框架，这一方面给西方学术理论带来了庞大、复杂的理论体系和极丰富的内容，但其自身的分裂也是这种体系框架无法克服的致命弱点，因此一次又一次地给各种学术体系带来难以克服的危机，比如，我们一直在解读的流行的NP理论的混乱局面。对危机的克服一方面带来了思想范式和理论的创新与发展，但最终仍以人自身不可克服的困惑和不安而成为西方文化最深刻的阴影。

与现代数理逻辑对照的意义上，中国传统逻辑不分离于日常语言，也没有产生专门化的逻辑学，而是存在于中国文化本质中，中国传统逻辑始终深入在中国思想与中国思维方式中，以一种完全不同于西方逻辑学发展的道路深深植根于中国传统文化之中。中国文化典籍中的传统逻辑以经典案例形式传承不绝，比如公孙龙的“白马论”，中国传统逻辑与中国传统文化的关系也就是中国文化本质的表现，用中国文化中最具传统特色的一句哲学语言来表达，就是“大象无形”。

中国传统逻辑与中国文化的特质是一致的，“大象无形”背后是清晰的层次思想，这正是西方学术思想和现代逻辑遍历不得的，中国传统逻辑吸收西方逻辑学丰富成果而得到清晰的体系化，由此可以给现代数理逻辑涉及自身的最困难的问题带来洞察的思想。

参考文献：

［1］负负得正，汪晓勤，http://www.360doc.com/content/16/1010/08/35951106_597224081.shtml

［2］司汤达的小说《亨利·勃吕拉传》中叙述他不解“负负得正“的法语段落：http://www.mathkang.org/pdf/reglesigne.pdf

［3］Why The Professor Can't Teach， Morris Kline，http://marco-learningsystems.com/pages/kline/prof/profchap2.html