原子坐标： C60 和I h点群

C60就是一个足球，C原子位于五边形和六边形的交汇点上。

需要强调的是，五边形一定是正五边形，而六边形不一定是正六边形。因为没有6次轴，只有3次轴。

C60共有多少对称轴呢？

这就需要先数一数足球有多少个五边形和六边形。

足球有12个五边形，而且两两相对（上1个，下1个），如果用直线穿过一个五边形的中心并且过足球的中心，那么，这条直线就必然会从另外一个五边形的中心穿出来，这就是足球的轴，称为五次轴，共有6个。

足球有20个六边形，而且也是两两相对（上1个，下1个），如果用直线穿过一个六边形的中心并且过足球的中心，那么，这条直线就必然会从另外一个六边形的中心穿出来，这也是足球的轴。

注意，围绕六边形的有3个五边形，3个六边形，因此，足球没有六次轴，只有10个三次轴。

此外，足球的六边形和六边形连通，而五边形却没有这种情况。

实际上，六边形和六边形接触的棱边中点，也是而且两两相对（上1个，下1个），如果用直线穿过一个这样的棱边的中点并且过足球的中心，那么，这条直线就必然会从另外一个棱边的中点穿出来，这也是足球的轴。

这样的轴是二次轴，共有15个。

足球还有反演中心，就是把（X，Y，Z）变为（－X，－Y，－Z）。

如果把转动和反演结合起来，就会得到10次转动－反演轴和6次转动－反演轴。

结果，足球有120个对称元素，对应的点群叫Ih。

120个元素，对应120个矩阵。

如果有了Ih点群的120个操作矩阵，就可以很轻松地转动出C60的60个原子的原子坐标（x，y，z）。

即用120个矩阵操作1个（C原子的）已知坐标，就可以得到60个C原子的坐标。

求解魔方问题，希望能找到（遇到）子群。

而求解点群操作矩阵是希望能避开子群。

例如，足球的那么多对称轴，但是，无论怎么摆放足球，绝大多数的轴都是“歪的”。

如果把1个五次轴置于[z]方向，可以有1个二次轴位于[y]方向，其他的轴都是“歪轴”，这些的“歪轴”的操作矩阵是很难用肉眼一下看出里的。

[z]方向的5次轴，有4个矩阵，分别是C5[z]、C5^2[z]、C5^3[z]、C5^4[z]，[y]方向的2次轴是C2[y]。

此外，还有一个单位元素e和反演元素i，这两个矩阵都很简单。

用这7个矩阵，可以繁殖出13个新的矩阵，然后就陷入了一个子群循环。这个子群的阶为20，对应20个矩阵，Ih的120个矩阵，还差100个。

如何找到剩下的100个矩阵呢，仍然是使用魔方操作法。

先看看下面的子群（计算机输出结果，俺就不编辑了）。

20
"e"
1,0,0
0,1,0
0,0,1
"C5[z]"
.309016994374949,.951056516295153,0
-.951056516295153,.309016994374949,0
0,0,1
"C5^2[z]"
-.809016994374946,.587785252292475,0
-.587785252292475,-.809016994374946,0
0,0,1
"C5^3[z]"
-.80901699437495,-.58778525229247,0
.58778525229247,-.80901699437495,0
0,0,1
"C5^4[z]"
.309016994374942,-.951056516295155,0
.951056516295155,.309016994374942,0
0,0,1
"C2[010]"
-1,0,0
0,1,0
0,0,-1
"i"
-1,0,0
0,-1,0
0,0,-1
"C5[z]*C2[010]"
-.309016994374949,.951056516295153,0
.951056516295153,.309016994374949,0
0,0,-1
"C5[z]*i"
-.309016994374949,-.951056516295153,0
.951056516295153,-.309016994374949,0
0,0,-1
"C5^2[z]*C2[010]"
.809016994374946,.587785252292475,0
.587785252292475,-.809016994374946,0
0,0,-1
"C5^2[z]*i"
.809016994374946,-.587785252292475,0
.587785252292475,.809016994374946,0
0,0,-1
"C5^3[z]*C2[010]"
.80901699437495,-.58778525229247,0
-.58778525229247,-.80901699437495,0
0,0,-1
"C5^3[z]*i"
.80901699437495,.58778525229247,0
-.58778525229247,.80901699437495,0
0,0,-1
"C5^4[z]*C2[010]"
-.309016994374942,-.951056516295155,0
-.951056516295155,.309016994374942,0
0,0,-1
"C5^4[z]*i"
-.309016994374942,.951056516295155,0
-.951056516295155,-.309016994374942,0
0,0,-1
"C2[010]*i"
1,0,0
0,-1,0
0,0,1
"C5[z]*C2[010]*i"
.309016994374949,-.951056516295153,0
-.951056516295153,-.309016994374949,0
0,0,1
"C5^2[z]*C2[010]*i"
-.809016994374946,-.587785252292475,0
-.587785252292475,.809016994374946,0
0,0,1
"C5^3[z]*C2[010]*i"
-.80901699437495,.58778525229247,0
.58778525229247,.80901699437495,0
0,0,1
"C5^4[z]*C2[010]*i"
.309016994374942,.951056516295155,0
.951056516295155,-.309016994374942,0
0,0,1

20个矩阵，只有7个被标定，即明确了其转动图像。

例如，C5^3[z]是围绕[z]轴转动3个72（360/5）度。

请问？

C5^4[z]*C2[y]*C5[z]是个什么样的对称元素呢？

如果是个转动操作，围绕的轴是在什么地方？转动的角度又是多少？

这就是个旋转足球的游戏，和旋转魔方没有什么差别。