科学及其革命（6）

  （接（5））

5．牵引运动必作相应的变换

牵引运动是2个质点粒子各自坐标系中心的相互运动。

2个质点粒子发生牵引运动，则其坐标系必作相应牵引运动的变换。

不同维数，不同性质的牵引运动，就有相应不同性质的变换。

(1)须分别具体研讨：

经典物理学各矢量，按“绝对时间”，坐标系与时间无关，仅取3维空间位置（或距离）1线矢，r(3)[ 1线矢]，其各分量的模长又都是时间，t，的函数rj(t), j=1,2,3，表达。

任意矢量都可由相应的3维空间位置（或距离）1线矢的函数，3维空间任意1线矢，A(3)[ 1线矢]，其各分量的模长Aj(rK(t)), j,K=1,2,3，表达。

它们的惯性和非惯性的牵引运动，的变换，就都是伽利略变换。

时空各多线矢可分别由4维的1线矢、6维的2线矢、15维的22线矢、12维的22,1线矢、222线矢，表达。

各牵引运动时空多线矢的变换

一般说，各牵引运动时空多线矢的变换都由其维数的相应正交归一矩阵表达。例如：

4维时空1线矢

r(4)[1线矢]={ra[a,1线基矢],a=0到3求和}

={ict[0,1线基矢]+r1[1,1线基矢]+r2[2,1线基矢]+r3[3,1线基矢]}，

r(4)[1线矢]的模长=ict(1-(r1^2+r2^2+r3^2)/(ct)^2)^(1/2)=ict(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)，

r(4)[1线矢]的各方向余弦：

1/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2),-irj/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2), j=1到3，

须采用4维的变换：

c1      -s1    0     0

s1c2    c1c2   -s2   0

s1s2c3  c1s2c3 c2c3  -s3    正交归一矩阵

s1s2s3  c1s2s3 c2s3  c3

   sa=sin角a ;  ca=cos角a , a=1,2,3,

一般地，须采用4维时空距离1线矢为牵引运动矢，而有：

c1=1/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2),s1=-ir(3)/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2),

s1c2=-ir(3)c2/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=-ir1/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2),

   c2=r1/r(3), s2=r(2)/r(3),

s1s2c3=-ir(2)c3/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=-ir2/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2),

   c3=r2/r(2), s3=r3/r(2),

r(2)=(r1^2+r2^2)^(1/2)，r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，

u=(1-(r(3)/(ct))^2)^(1/2),

1/u     ir(3)/(ctu)     0          0

-ir1/(ctu)  r1/(r(3)u)  - r(2)/r(3)       0

-ir2/(ctu) r2/(r(3)u)  r1r2/(r(2)r(3))  -r3/r(2)

-ir3/(ctu)  r3/(r(3)u) r1r3/(r(2)r(3))  r2/r(2)

du/dt=-(r(3)/(ct))(v(3)/(ct)-r(3)/(ct^2))/u,

d(1/u)/dt=-(r(3)/(ct))(v(3)/(ct)-r(3)/(ct^2))/u^3,

d(1/(ctu))/dt=-1/(ct^2u)-(r(3)/(ct))(v(3)/(ct)-r(3)/(ct^2))/(ctu^3),

d(1/(r(3)u)/dt=-v(3)/(r(3)^2u)-(r(3)/(ct))(v(3)/(ct)-r(3)/(ct^2))/(r(3)u^3),

6维时空2线矢就须由6维的矩阵表达：

c1        -s1        0      0    0   0

s1c2      c1c2     -s2       0    0   0

s1s2c3    c1s2c3   c2c3     -s3    0   0     正交归一矩阵

s1s2s3c4  c1s2s3c4  c2s3c4   c3c4  -s4  0

s1s2s3s4c5c1s2s3s4c5 c2s3s4c5 c3s4c5 c4c5 –s5

s1s2s3s4s5c1s2s3s4s5 c2s3s4s5 c3s4s5 c4s5 c5

太繁琐，可当作每2维组合的3维矢量，或每3维组合的2维矢量简化进行变换。

15维时空22线矢就须由15维的矩阵表达，太繁琐，

可当作每3维组合的5维矢量，或每5维组合的3维矢量简化进行变换。

   5维矢量的变换矩阵：

c1      -s1      0    0    0  

s1c2    c1c2    -s2    0   0  

s1s2c3  c1s2c3  c2c3  -s3   0      正交归一矩阵

s1s2s3c4c1s2s3c4 c2s3c4 c3c4 -s4

s1s2s3s4c1s2s3s4 c2s3s4 c3s4 c4

仍太繁琐，但因各时空多线矢都有虚数和实数的2种分量，就都可以组合为虚数和实数的2种分量，来简化变换。而且，它们的牵引运动的变换就都不是伽利略变换，惯性牵引运动的变换，就，也才，都可以采用按4维时空牵引速度各方向余弦表达的幺正矩阵的洛伦兹变换。因而,

(2) 将各时空多线矢分别具体表达为如下虚数和实数的2种分量，来简化变换。：

(1，) 4维时空任意A(4)(1线矢)可简化为：

iA0，和A(3)，虚、实，2项的矢量。

4维时空位置（或距离）r(4)(1线矢)可简化为：

ict，和r(3)，虚、实，2项的矢量。

距离模长r(4) =((ir0)^2+(r(3))^2)^(1/2)。

(2，) 6维的2线矢：

AB(2线矢)=(i(A0Bj-AjB0)(0j,2线基矢),j=1到3求和

+(AkBl-AlBk) (kl,2线基矢),jkl=123循环求和)。

如上的虚、实，求和2项可当作2维矢量。

AB(2线矢)模长=(-(A0Bj-AjB0)^2,j=1到3求和

+(AkBl-AlBk)^2,jkl=123循环求和)^(1/2)。

(3，) 15维的22线矢

AB,CD(22线矢)

=(-((A0Bj-AjB0)(C0Dk-CkD0)-(A0Bk-AkB0)(C0Dj-CjD0))(0j,0k,22线基矢)

+i((A0Bj-AjB0)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(C0Dj-CjD0))(0j,kl,22线基矢)

+i((A0Bj-AjB0)(ClDj-CjDl)-(AlBj-AjBl)(C0Dj-CjD0))(0j,lj,22线基矢)

+((AjBk-AkBj)(CjDl-ClDj)-(AjBl-AlBj)(CjDk-CkDj))(jk,jl,22线基矢)

+((AjBk-AkBj)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(CjDk-CkDj))(jk,kl,22线基矢)

   ,jkl=123循环)。

如上的虚数2个、实数3个，求和项，可当作2维矢量。

AB,CD(22线矢) 模长

=(-((A0Bj-AjB0)(C0Dk-CkD0)-(A0Bk-AkB0)(C0Dj-CjD0))^2

-((A0Bj-AjB0)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(C0Dj-CjD0))^2

-((A0Bj-AjB0)(ClDj-CjDl)-(AlBj-AjBl)(C0Dj-CjD0))^2

+((AjBk-AkBj)(CjDl-ClDj)-(AjBl-AlBj)(CjDk-CkDj))^2

+((AjBk-AkBj)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(CjDk-CkDj))^2

   ,jkl=123循环)^(1/2)。

(4，) 12维的AB,CD,E(22,1线矢)

=(((A0Bj-AjB0)(C0Dk-CkD0)-(A0Bk-AkB0)(C0Dj-CjD0))El)(0j,0k,l,22,1线基矢)

+i((A0Bj-AjB0)(ClDj-CjDl)-(AlBj-AjBl)(C0Dj-CjD0))Ek)(0j,lj,k,22,1线基矢)

+i((AjBk-AkBj)(CjDl-ClDj)-(AjBl-AlBj)(CjDk-CkDj))E0)(jk,jl,0,22,1线基矢)

+i((AjBk-AkBj)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(CjDk-CkDj))E0)(jk,kl,0,22,1线基矢)

 ,jkl=123循环)。

如上的虚数3个、实数1个，求和项，可当作2维矢量。

AB,CD,E(22,1线矢)的模长

=(((A0Bj-AjB0)(C0Dk-CkD0)-(A0Bk-AkB0)(C0Dj-CjD0))El)^2

-((A0Bj-AjB0)(ClDj-CjDl)-(AlBj-AjBl)(C0Dj-CjD0))Ek)^2

-((AjBk-AkBj)(CjDl-ClDj)-(AjBl-AlBj)(CjDk-CkDj))E0)^2

-((AjBk-AkBj)(CkDl-ClDk)-(AkBl-AlBk)(CjDk-CkDj))E0)^2

 ,jkl=123循环)^(1/2)。

(3) 各维多线矢的远程与近程

   对于4维时空1线矢，有：

远程：((ir0)^2<<(r(3))^2，(ir0)^2可忽略，正

近程：((ir0)^2>>(r( (3))^2，(r (3))^2可忽略，负

力模长f(4) =((if0)^2+(f (3))^2)^(1/2)。

远程：((if0)^2<<(f (3))^2，((if0)^2可忽略，正

近程：((if0)^2>>(f (3))^2，(f (3))^2可忽略，负

   对于6维时空2线矢，有：

远程：((ir(AB0(3))^2<<(r(AB(3)))^2，(ir(AB0(3))^2可忽略，正

近程：((ir(AB0(3))^2>>(r(AB(3)))^2，(r(AB(3)))^2可忽略，负

力模长f(AB) =((if(AB0(3)))^2+(f(AB(3)))^2)^(1/2)。

远程：((if(AB0(3)))^2<<(f(AB(3)))^2，((if(AB0(3)))^2可忽略，正

近程：((if(AB0(3)))^2>>(f(AB(3)))^2，(f(AB(3)))^2可忽略，负

   类似地，有其它各时空多线矢的远程与近程。

(4) 简化为虚数和实数的2种分量的变换

各种多线矢的变换都可按上述方法简化为虚数和实数的2种分量的变换。

仅以4维时空距离r(4)[1线矢]为例，具体表达于下：

4维时空距离r(4)[1线矢]的各方向余弦就可简化为：

1/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=1/u,-ir(3)/(ct)/(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=-ir(3)/(ctu)，

   其中，u=(1-r(3)^2/(ct)^2)^(1/2)，

而可采用2维的变换：

1/u      -ir(3)/(ctu)

ir(3)/(ctu)1/u       正交归一矩阵       （1）

4维时空速度v(4)(1线矢)=ic(t,1线基矢)+v(3)(v(3),1线基矢)，

4维时空速度1线矢的模长dv(4)/dt= icv=ic(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)，

v(4)[1线矢]的各方向余弦就可简化为：

1/(1-v(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=1/v,-iv(3)/(ct)/(1-v(3)^2/(ct)^2)^(1/2)=-iv(3)/(ctv)，

   其中，v=(1-v(3)^2/(ct)^2)^(1/2)，

而可采用2维的变换：

1/v      -iv(3)/(cv)

iv(3)/(cv)1/v       正交归一矩阵       （2）

   按几何原理，一般情况，应采用4维时空距离1线矢为牵引运动矢，变换矩阵应为（1）。

对于惯性牵引运动，dv(3)=0，就可采用4维时空速度1线矢为牵引运动矢，而变换矩阵应为（2）。

(一) 对于惯性牵引运动，变换矩阵应为（2），则：

因dv(3)=0，变换矩阵（2）不随时空改变，而无时空弯曲。

4维时空距离r(4)[1线矢] 各分量模长在牵引系，有：

ict’=ict(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)-i(r(3)v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

 =i(ct-r(3)v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

icdt’/dt=i(c-v(3)dr(3)/dt/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

=ic(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

r’(3)=-ct(v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)+r(3)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

  =(-tv(3)+r(3))(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

dr’(3)/dt=(-1+1)v(3)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)=0，

牵引系4维时空任意矢量模长：

r’(4)=(-(ict’)^2+r’(3)^2)^(1/2)

=(-(ct’)^2+r’(3)^2)^(1/2)

=(-c^2(ct-r(3)v(3)/c)^2/(1-(v(3)/c)^2)-(ctv(3)+r(3))^2/(1-(v(3)/c))^2)^(1/2=(-(ct)^2-(r(3)v(3)/c)^2)/(1-(v(3)/c)^2)-((ct)^2v(3)^2+r(3)^2)/(1-(v(3)/c))^2)^(1/2)

 =(-(ct)^2+r(3)^2)^(1/2)= r(4)，

变换前后，4维时空矢量模长不变。

dr’(4)/dt=ic(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

v’(4)=dr’(4)/dt’=ic

v(4)=dr(4)/dt=ic(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)，

p’(4)=m’v’(4)=icm’

=p(4)=mv(4)=icm’(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)，

令m为运动质量，m’=m0为静止质量，有：

icm=icm0/(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)，

可见，运动质量公式是惯性牵引运动条件下，质量从原坐标系变换到牵引运动坐标系的结果。

4维时空任意A(4)[1线矢] 各分量模长在牵引系，有：

iA’0=iA0(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)-i(A(3)v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

 =i(A0-A(3)v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

idA’0/dt=i(dA0/dt-v(3)dA(3)/dt/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

A’(3)=A0(v(3)/c)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)+A(3)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

  =(A0v(3)+A(3))(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

dA’(3)/dt=(dA0/dtv(3)+dA(3)/dt)(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)，

牵引系4维时空任意矢量模长：

A’(4)=((iA’0)^2+A’(3)^2)^(1/2)

=(-(A’0)^2+A’(3)^2)^(1/2)

=(-(A0-A(3)v(3)/c)^2/(1-(v(3)/c)^2)-(A0v(3)+A(3))^2/(1-(v(3)/c))^2)^(1/2)

 =(-(A0)^2+A(3)^2)^(1/2)=A(4)，

变换前后，4维时空矢量模长不变。

dA’(4)/dt=(-(dA0/dt-dA(3)/dtv(3)/c)^2+(dA0/dtv(3)+dA(3)/dt)^2)^(1/2)

(1-(v(3)/c)^2)^(-1/2)

 =(-(dA0/dt )^2+(dA(3)/dt)^2)^(1/2)

 = dA’(4)/dt，

dA’(4)/dt’=dA’(4)/dt(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)，

变换前后，4维时空矢量模长时间导数的变换与速度的类似。

   （未完待续）