“数”（3）

中国科学院  力学研究所  吴中祥

（接（2））

7．实数与素数相互关系的一条定律

   整数已按其顺序，n，表达其数值为：n=0、1、2、3、…、n。

但是，由它产生的其它各数的顺序和数值就还需具体确定。

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”，因而，可采用整数m，以2m顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”。

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”。

因而，就不能如上简单地确定其各数的顺序和数值。但是，可采用各素数，j(m)，都有：比它小的所有素数，j(m-k); k=1,2,…,m-1,整除，即：j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，的基本特性，按序数，m，，确定素数，j(m)，的数值。

就可以按序，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值

由此，就由本人在[科学网] 的博文“歌德巴赫猜想完善证明已成整数与素数的一条定律”( http://blog.sciencenet.cn/blog-226-926615.html) 简单、完善地全面证明了“歌德巴赫猜想”，因而，得到整数与素数的如下定律：

对于正负实整数或正负虚整数、复数整数的实部与虚部：m，大于3的，所有2m，都至少有2个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有3个素数相加，等于它们。

并且扩展到：

对于足够大的正负实整数或正负虚整数、复整数： m，所有2m，都至少有相应的偶数个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有相应的奇数个素数相加，等于它们。

对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。

8.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(A和B)，而且，能全面研讨素数的各种特性，例如：

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就能：

由 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k),  其中，k从1,2,…,s，s从2,3,…,任意大整数，指数，a(1),a(2) ,…, a(k)依次单独从1,2,…, s，=1，而其它指数均=0，直到往返重复s-1次，则，k=s从2,3,…,任意大整数，就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   或级数，J(s)

=j(1)^s,j(2)乘j(1)^(s-1)；j(1)^s+1,j(2)乘j(1)^(s-1)+1、

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)、

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)+1、

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (乘j(1)^(s-j(2))+1)+1、

… … …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)、

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)+1； s=1,2,…, (任意大的整数)。

就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   类似地，

可由2(j(1)^a(1)+ j(2)^a(2)+…+j(n)^a(n))表达，除2外的全部偶数，2n。

可由2(j(1)^a(1) +j(2)^a(2)+…+j(n)^a(n))+1表达，除1和3外的全部奇数，2n+1。

当m=无穷大，j(m)=j(无穷大)=无穷大。并有：

j(无穷大)+任何有限数=j(无穷大)=j(无穷大+任何有限数)。

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，s(m)=任意自然数，除m=1时，r(1, 1)是奇数，而外，其它所有m大于1的r(m,s(m))就都是偶数。而且，有：

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，

r(m+1,s(m+1))=j(m+1+s(m+1))-j(m+1)，

………

r(m+n,s(m+n))=j(m+n+s(m+n))-j(m+n)；n=1,2,…,，直到无穷大。

r(m+无穷大,s(m+无穷大))=j(m+无穷大+s(m+无穷大))-j(m+无穷大)=有限极限值。

(2) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对，即p和p+2同为素数。

前几个孪生素数分别是：

（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。

100以内有8个孪生素数对；501到600间只有两对。随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。

2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布，《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何估算？

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，这问题即：

当j(m+1)=j(m)+2，j(m+s(m)+1)=j(m+s(m))+2，有：

r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)=j(m+s(m)+1)-j(m+1)。

只要确定m 与s(m)，即可由：

j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，

j(m+s(m))/j(m+s(m)-k); k=1,2,…,m+s(m)-1,都不是整数，

分别得到：j(m)、j(m+s(m))，即有：r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，也就是，对于任何给定的m和s(m)，乃至无穷大的m，就都完全能确定r(m,s(m))，例如：

m  s(m)  j(m) j(m+s(m)) r(m,s(m))

2   1     3      5         2

3   1     5      7         2

4   1     7      11        4

5   2     11     17        6

7   3     17     29        12

10  3     29     41        12

等等。

就完全能确定r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，的具体数值。

而且，只要m 是有限的，j(m+s(m))、j(m)就都是有限的数值，当然，r(m,s(m))就只能是小于j(m+s(m)) 的，有限的数值。

当m 无穷大，j(m+s(m))、j(m)就也都是无穷大，但是，r(m,s(m))=j(m+s(m))-j(m)，仍是有限值。

由r(m,s(m))随m的变化规律就可确定r(m,s(m))随m变化的极限值。

张益唐已求得这个极限值是：不超过七千万。

当然，取更大的m值，就可得到更精确的极限值的数值。

但是，只要证明了r(m,s(m))是有限值，就证明了j(m+s(m))与j(m)间的距离是有限值，而且，随着m的增大而愈来愈小。

(3) 创建判断素数的简便方法

10进制中，哪些整数是素数？以及在整数中，素数如何分布？是否存在无穷大的素数？等问题，都可由此解决。

   偶数都能被2整除，因而，大于2的，而个位数=2，4，6，8的，就都不是素数；

3的倍数都能被3整除，因而，大于3的，而个位数=3，6，9的也都不是素数；

5的倍数都能被5整除，因而，大于5的，而个位数=5，0（10位数的个位数）的也都不是素数；

因而，对于各整数中，除2，5，以外，其个位数的10个数中，仅有个位数是：1，3，7，9的，才可能是素数。即：仅为：4/10的几率。

3乘7=21，3乘9=27，虽然，其个位数可能是素数，但都能被3整除，而可以由其两位数之和能被3整除，判定，也都不是素数。

因而，任何整数，其各位数之和能被3整除的，也都不是素数。各位数之和不可被3整除的整数，就可能是素数。

7乘7=49，7乘9=63，虽然，其个位数可能是素数，但都能被7整除，也都不是素数。而且，任何整数，其各位数都是7的，都能被7整除，也都不是素数。

因而，任何整数被7除至仅剩的2位数=49或63，就都能被7整除，也都不是素数。

9乘9=81，虽然，其个位数可能是素数，但都能被9整除，也都不是素数。而且，任何整数，其各位数都是9的，都能被9整除，也都不是素数。

因而，任何整数被9除至仅剩的2位数=81，就都能被9整除，也都不是素数。

还有，任何整数，其各位数都是1，3，7或9的，就都分别能被它们整除，也都不是素数。

因而，可能是素数的几率，各10位数的整数，就比个位数的整数少了。

对于高位数的整数，还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除，例如：

末位数=1的   221  可被  13，17 整除；

末位数=3的   553   可被  29，17 整除；

末位数=7的   187   可被  11，17 整除；

末位数=9的   2299  可被  11,19   整除；等等，都须具体判定。

正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除，就必须限制于整数小于121，才能得出：末位数=1，3，7，或9的素数。

   更大位数的整数，还须具体判定是否能被相应更大位数的整数，整除。

任何整数，只要以上各种情况，有任何一种成立，就不是素数。

因而，可能是素数的几率，各位数更大的整数，就比较小位数的整数更少了。而且，位数愈大几率愈小，表明：整数愈大素数愈稀疏。

由m逐次增大，j(m)的变化规律也反映，并证实了以上分析：

当m是个位数：j(m)为：2、3、5、7。

当m是个10位数小于20：j(m)为：11、13、17、19。

当m是个100位数小于110：j(m)为：101、103、107、109。

当m是个1000位数小于1030：j(m)为：1009、1013、1019、1021。

    等等。

但是，任何大位数的整数中，又都可能存在以上各种情况，都不成立的情况。因而，又都可能有素数。

由于，可以给出更多的条件，增大限制存在素数的整数的数值。而且，这个数值可以到无穷大。因而，末位数=1，3，7，或9的素数，可以到无穷大。

   （未完待续）