“数”（2）

中国科学院  力学研究所  吴中祥

（接（1））

5，一些特殊的数的一些规律性

在前节，已由数本身的特性和变化规律，得到了一些特殊的数，例如：0、“无穷小”（即在一定条件下，要多小就有多小，乃至趋于0，但始终不=0）、“极大”（即在一定条件下，最大的数）和“无穷大”（即在一定条件下，要多大就有多大，乃至趋于极大，但始终不=极大）

它们的4则运算与通常的数都不相同。例如，

对于通常的数，A，有：

A+0=A，A+无穷小~A， A-0=A，A-无穷小~A， A乘0=0，A乘无穷小~0， A除0=极大，A除无穷小~无穷大，

0无正、负之分别，其与通常任何数的4则运算结果的正负，都由其它数的正负决定。

无穷小、极大、无穷大都与其它数一样有正、负之分别，其与其它任何数，除0而外，的4则运算结果的正负都与其它数的一样，仍按正正为正，负负为正，正负为负，负正为负。

任何通常正、负数A、0、或无穷小+正无穷大、或极大，都=正无穷大、或极大。

任何通常正、负数A、0、或无穷小+负无穷大、或极大，都=负无穷大、或极大。

任何通常正、负数A、0、或无穷小-正无穷大、或极大，都=负无穷大、或极大。

任何通常正、负数A、0、或无穷小-负无穷大、或极大，都=正无穷大、或极大。

任何通常正、负数A、0、或无穷小除无穷大、或极大，都=无穷小，或0。

任何通常正、负数A、除 0，都=无穷大、或极大，

任何有限数多次，除无穷大，使得无穷小逐次产生更高的级别。

任何有限数多次，除 0，使得极大逐次产生更高的级别。

任何有限数除 (n级0)=n级极大。

任何有限数除 (n级无穷大)=n级无穷小。

n级无穷大除 (n’级0)=(n级无穷大)(n’级极大)。

n级0 除 (n’级无穷大)= (n级0)(n’级无穷小)。

(n级0) 乘 (n级无穷大)=(n级无穷大) 乘 (n级0) =任何有限数。

(n级0) 除 (n级0)=(n级无穷小) 除 (n级无穷小) =任何有限数。

………等等。

6. 那些特殊的数与其它的各种“数”对实际问题的作用

那些特殊的数也都与其它的各种“数”一样，在实际事物中显示出重要作用。例如：

   一切物体的中心位置，不论是时轴或3个空间轴，就都可以用，0，来标志。

按相对论，距中心的4维时空距离就可以用4维时空距离矢量的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，来表达。

当其时轴分量的模长趋于，而不=0，ict就是无穷小，相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就趋于，而不=，在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大，就是在此条件下的无穷大。

反之，当其3个空间的模长趋于，而不=0，(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就是无穷小，相应的时轴分量ict就趋于，而不=，在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大，就是在此条件下的无穷大。

当其时轴分量的模长=0，ict就是=0，相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，就=在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大。

反之，当其3个空间的模长=0，(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)就=0，相应的时轴分量ict就=在确定距离的模长，(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)，条件下，的极大。

任何粒子(包括实物粒子和光子)的运动速度的模长：

v=(-c(3)^2+v(3)^2)^(1/2)

v(3) =该粒子在该介质中，3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中，3维空间速度的模长。

任何粒子(包括所有在该介质中，3维空间速度小于光子的粒子和光子)的运动质量：

m=m(0)/(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)

m(0)=该粒子的静止质量。

v(3)=该粒子在该介质中，3维空间速度的模长。

c(3)=光子在该介质中，3维空间速度的模长。

因所有粒子，都在时空运动，且都不可能有无穷大的力作用，其运动质量必不=0，也不能=无穷大。

对于所有在该介质中，3维空间速度小于光子的粒子：

(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)都不=0，因而，m(0)必不=0。

对于光子：v(3)=c，(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)=0，只有m(0)=0，才能合理地，使m不=无穷大。而m=0/0就=任何有限数，仍有意义，但其数值不能由此公式确定。而需，也可，利用大量同种光子集体表现或统计效应的波长或频率求得，即：m=h(频率/2派)/c(3)^2)，其中，h是普朗克常数。

   又例如：物体连续性的确切定义：

对于任何随某个参量, x, 变化的某种一一对应的特性，y= f(x), 的2维事物。x就是变量，y=f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数，是否连续？

如果有两个一一对应的无限小，a 和b，当x趋近于c时，存在并且=对应的f(c)，x 改变a；则f(x)改变b，就称：x = c 时，f(x) 连续。

对于任何随某n个参量, x1、x2、…，xn, 变化的某种一一对应的特性，y= f(x1、x2、…，xn), 的n+1维事物。x1、x2、…，xn，就是变量，y=f(x1、x2、…，xn) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数，是否连续？

如果有n+1个一一对应的无限小，a1、a2、…，an 和b，当x1、x2、…，xn趋近于 c1、c2、…，cn时，存在并且=对应的f(c1、c2、…，cn)， x1、x2、…，xn 改变a1、a2、…，an；则f(x1、x2、…，xn)改变b，就称：x1、x2、…，xn = c1、c2、…，cn 时，f(x1、x2、…，xn) 连续。

但是，对于某些实际情况，例如：化合物、合金、溶液等整体的连续性，所取的任意小就可以不必真正趋近于0，而实际上，只需趋近于稍大于其中各原子的尺度，或视觉上近于0，即可。

对于各种事物的各种特性，对应的x 可以是时间、长度、体积，甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于各类不同的“数”，就要考虑到，例如：有理数（整数、分数（小数、循环小数））、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数，都包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上；所有的正、负虚数，包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数，也都可包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上；而全部相应的复数，就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性，对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行，因此，只能对全部实数、虚数、复数（可视为实数与虚数组成的2维数）进行，而不可能分别对有理数（或整数、分数（或小数）或无理数进行。

这就可见：0、无穷大和无穷小，等特殊的“数”及其运算规则，和使用方法，与其它的各种“数”有显著不同，但是，都一样地，对解决实际问题有着非常重要的作用。

（未完待续）