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“数论”的一些新的革命性发展

已有 2307 次阅读 2015-2-13 21:19 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

 “数论”的一些新的革命性发展

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

                                   

 

各种“数”都是从一切实际事物的数量和顺序中抽象出来的概念,并通过实践,逐个对其变化规律,逐次比较、区分、联系,加深认识,而发展的。

由于仅由2次根式,表达-1和任意正整数的任意n次根式,才能,也即能,以实数、虚数、复数表达所有的数,由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的方法,就能,类似地利用现有的各种解析运算方法,具体发展素数和素数复数的代数和解析运算方法。

使数论和解析数论革命性地发展。

 

1.“数”的基本特性

“数”最基本的特性是可数性、可列性。

“数”是从一切事物中抽象出来的,它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

 

2.任何事物是否“可数”?就必须具有如下两个基本条件:

(1)它们必须是“同类”的事物。

(2)必须确定同一的“单位”

当然,有时也可将某些事物,甚至是不同类的事物,组配成“套”、“团”或“堆”,作为单位,这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物,就也按此单位可数了。

(3)各种“数”本身却是与事物的种类、性质、单位都无关

但是,既已抽象为“数”之后,各种“数”本身就与事物的种类、性质、单位都无关,它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

 

3.任何事物怎样才是可列的?

只有该事物是可数的,而且确定了它们的“排列顺序”的基本原则,例如:数值、体积、重量、大小,先后、高低、好坏,等等之后,才是可列的。

对于“数”,一般就只是分别对同类的数,相同的单位,按数值大小的排列顺序,才是可列的。对于不同类的数,甚至某类不同单位的数,也是不可列的。

当然,如果将稍大于0;且稍小于1的,全部实数或虚数,整体作为单位,那么,整个实数轴虚数轴上的各数就也都是按此单位可列的了。

 

   自然数的顺序和数值是已经从客观事物中,抽象出时就确定了的。但是,由它产生的其它各数的顺序和数值就还需具体确定。

 

4. 各种“数”的产生和发展

只要有了“单位”,就有了“1

最基本的数,是“正整数”中的“自然数”:123、…、n

各种“数”都有:加、减、乘、除的4则运算。由它的加法,就产生不断增大的数,无限增加,就产生了“无穷大”。

由它的减法,同等大小的数相减,就产生了“0”,被减数小于减数,就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”

由它的乘法,产生了“乘方”、“开方”,“指数”、“对数”,开方而不能去掉根号,就产生了“无理数”。

由它的除法,不能得出整数的,产生了“分数”,被除数小于或大于除数,就产生了“真分数”或“带分数”,按10进制,就产生了“小数”,其小于1的部分形成循环的,就是“循环小数”,无限循环的,就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”,有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。

可被或不可被“2”整除的整数,就区分为“偶数”或“奇数”。

除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”。

还有,常数、变数、函数之分,而有“代数”,都有相应的各种运算规则。

微小的变数、函数还形成相应的“微分”,乃至相应的“无穷小”,而由事物的相应的变化规律,形成各种代数、微分和偏微分方程式。

 

5,实数的“偶数”、“奇数”、“合数”、“素数”的相互关系,及正负实数或正负虚整数“歌德巴赫猜想”的证明

可被或不可被“2”整除的整数,就区分为“偶数”或“奇数”,

因而,可采用整数m,以2m顺序表达各“偶数”;以2m+1顺序表达各“奇数”除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”,

因而,可采用整数m,以j(m) 顺序表达各“素数”.

分数和小数,也都能由其数值确定其序数。

按素数的特性,有:j(m)/j(m-k); k=1,2,,m-1,都不是整数,这也就是判定j(m)是素数的基本条件。

 

就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,

r(m,1)=j(m+1)-j(m),例如:

 

m      1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15

j(m)   2  3  5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

r(m,1) 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 … … …

 

j(1)=2,为“偶数”外,所有的j(m) m>1的“素数”,都是“奇数”。

而且,所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”,所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”,所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”,

对于整数(也适用于实整数或正负虚整数),就容易地,简单地直接地完全证明:

“除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加”,还可以扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加。

而且,

偶数6= j(2)+j(2),而对于大于6的所有偶数,

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s)ss=1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k)k=1,2,,m-1

 

如此逐次,增大 m,就证明了,大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们

 

奇数7= j(1) +j(1)+j(2),而对于大于7的所有奇数,

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s)+j(m-s)s,s’,s=1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k)=j(m+1-k) k,k’,k=1,2,,m-1

 

如此逐次,增大 m,就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们。

 

对于m>3 的任意偶数,和任意奇数。

因而,对于,正整数(适用于实整数或正负虚整数),就已简单、直接地完全证明了:大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”。完全无需引进复数的“圆法”、“筛法”的复杂运算,而至今尚不能完全证明。

 

特别是,分别给出了偶数,2m,和奇数,2m+1,随着m改变到m+1,由素数,j(m),j(m-k) k=1,2,,k-1,表达的变化规律,对研究素数特性,乃至发展数论、解析数论,都有重要作用。

 

6.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(AB),而且,能全面研讨素数的各种特性,例如:

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就能:

 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k),  其中,k1,2,,ss2,3,,任意大整数,指数,a(1),a(2) ,, a(k)依次单独从1,2,, s=1,而其它指数均=0,直到往返重复s-1次,则,k=s2,3,,任意大整数,就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

 

   或级数,J(s)

=j(1)^s,j(2)j(1)^(s-1)j(1)^s+1,j(2)j(1)^(s-1)+1

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)j(1)^(s-j(1))+1)

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)j(1)^(s-j(1))+1)+1

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (j(1)^(s-j(2))+1)+1

… …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)+1 s=1,2,, (任意大的整数)

 

就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

   类似地,

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))表达,除2外的全部偶数,2n

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))+1表达,除13外的全部奇数,2n+1

 

r(m,s)=j(m+s)-j(m),除m=1s=1时,r(1,1)=1,是奇数,而外,其他所有m大于1r(m,s),都是偶数。而有:

r(m,1)=j(m+1)-j(m)

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)

r(m+1,1) + r(m,1) =j(m+2)- j(m)

r(m,s)=j(m+s)-j(m)

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)

r(m+s,1) =j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)

 

(2) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对,即pp+2同为素数。

前几个孪生素数分别是:

35)、(57)、(1113)、(1719)等。

100以内有8个孪生素数对;501600间只有两对。随着数的变大,可以观察到的孪生素数越来越少。

20135月《自然》在突破性新闻栏目里,宣布,《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。

 

存在无数多个素数对,其中每一对素数之差值,如何估算?

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,这问题即:

j(m+s)= j(m)+rj(m+s+1)=j(m+s)+2r=

并有:j(m+s)/j(m+s-k); k=1,2,,m+s-1,都不是整数,j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=1,2,,m+s,都不是整数。

因此,即有:r(m,s) =j(m+s)-j(m)也就是,对于任何确定的ms,就完全能确定r(m,s)例如:

M=2s=5 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=11j(m+s+1)=13r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)

M=2s=7 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=17j(m+s+1)=19r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)

M=7s=26j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=101j(m+s+1)=103r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)

M=7s=28 j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=107j(m+s+1)=109r(m,s)=92=j(m+s)-j(m),等等。

 

显然,只要按表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,确定了:j(m)j(m+1)j(m+s)j(m+s+1)都是素数,而且,j(m+1)-j(m)=2j(m+s+1)-j(m+s)=2,就可以由j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1)的数值完全确定:r(m,s)=j(m+s)-j(m),或r(m,s)=j(m+1+s)-j(m+1),就不仅能估计r(m,s)<某数的范围,而是能完全确定r(m,s)的具体数值。而j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1),都是有限的数值,当然,r(m,s)就只是小于j(m+s) j(m+1+s)的有限数值。

 

(3) 证明不可能有“无限长度的素数等差数列”

用素数构成的等差数列被称为素数等差数列。

2004418日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”。

但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页,又没能给出具体实例。

 

创建了判断素数的简便方法,用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”?即:

所有的偶数都可被2整除,就不是素数,因此:

末位数为:24680,的任何整数,就都不是素数。

末位数不是:24680,的任何整数,就可能是素数。

5与任何数相乘,其末位数必为:50,因此:

末位数为:50的任何整数,就都不是素数。

末位数不是:50的任何整数,就可能是素数。

对于末位数为:1379的任何整数,则:

3与任何数相乘,其各位数之和,都必可被3整除,就不是素数,因此:

各位数之和可以被3整除的整数,就都不是素数。

各位数之和不可被3整除的整数,就可能是素数。

若不能被3整除:

且其各位数都是7,可被7整除,就不是素数。

且其各位数不都是7,不可被7整除,就可能是素数。

且其末位数为3,则,去掉其末位数后,减6,如前,判断其是否能被 79整除;若能,该整数就能被79整除,若不能,其末位数,又为3,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=63,则该整数就能被79整除,就不是素数。

且其末位数为9,则,去掉其末位数后,减4,如前,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为9,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=49,则该整数就能被7整除,就不是素数。

 

若以上各种情况,都不成立,

且其末位数为1,则,

去掉其末位数后,减2,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=21

 则该整数就能被7整除,就不是素数。

或去掉其末位数后,减8,判断其是否能被 9整除;若能,该整数就能被9整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=81

则该整数就能被9整除,就不是素数。

 

若以上情况都不成立,就可能是素数。

 

对于高位数的整数,还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除,例如:

末位数=1   221  可被  1317 整除;

末位数=3   553   可被  2917 整除;

末位数=7   187   可被  1117 整除;

末位数=9   2299  可被  11,19   整除;等等,都须具体判定。

 

正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除,就必须限制于整数小于121,才能得出:

任何整数,只要以上各种情况,有任何一种成立,就不是素数,如果所有情况都不成立,就必是末位数=1379的素数。

虽然,还可以给出更多的条件,增大必须限制小于的数值,但是,这个数值不可能无穷大。

 

j(m,s,t) = j(m)+ r(m, s,t),当r(m,s,t)=2ts

    对于,确定的mst=0,1,2,,t为止,当下式

j(m,s,t)= j(m)+2ts,都能满足,

j(m, s,t)就是:j(m)为初项,2s为差值的共t+1项的素数等差数列。

 

s=15nn为任意正整数,则2s=30n各位数之和都=3

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=7,则对于任意的tj(m,s,t+1)的末位数也必然=7,因而,只要j(m)的各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56

65,则,增加2st=30ntt是任意大的正整数,就都不会使其各位数都=7

而且,任何素数的乘积,除了711=77而外,也都不会使其各位数都=7

因而,以上的各种情况,必然都不能被7整除。

 

由此可见,当取s=15nn为任意正整数,j(m)的末位数=7,且大于77,并且各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56,或65,但还需要j(m,s,t)= j(m)+2tst=12,…,到任意大的正整数,都不是末位数=93,或=71的,素数的乘积,才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

而对于足够大的素数,末位数=9371的很多,j(m,s,t)=j(m)+2tst=12,…,到任意大的正整数,都不是末位数=93=71的,素数的乘积,是不可能的。

 

而且,也没有任何其它的选取,能够得到“无限长度的素数等差数列”。

 

因而,不可能有“无限长度的素数等差数列”。

 

类似地,还可研讨有关素数的更多特性。

 

7.任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解

仅引进2次的根式,不致于产生-1的高于2次的根式,而能仅以实数、虚数或复数表达,全面、具体给出任意n次不可约代数方程的确切的公式解,以及各高次更简化的解法,和一些相应的实例。

 

(1) 任意3次不可约代数方程,仅引进2次根式,的3个公式解。

y^3+b1y+b0=0

y1=-b1/2+(b1^2/4-b0)^(1/2),  y2=-b1/2-(b1^2/4-b0)^(1/2),  y3 =-(y1+y2)=b1

 

(2) .任意4次不可约代数方程,仅引进2次根式,的4个公式解。

x^4+a2x^2+a1x+a0=0 a2= -a1^2+(1/4+a0)^(1/2),        

x1=-a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),

x2=-a1/4-(a1^2/16-(1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

x3=a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)

x4= a1/4-(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

 

(3.) 任意5次不可约代数方程仅引进2次根式5个公式解。

x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由:

(x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x) =x’^5+(a’3-x)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1) 注意:a3=0

x=y-a3/4,

使(1) 成为:b3=0,的y^4+b2y^2+b1y+b0=0         (1’)

b2=6 (a3/4)^2-3a3^2/4+a2

b1=-4(a3/4)^3+3a3(a3/4)^2-a2a3/2+a1

b0=(a3/4)^4-a3 (a3/4)^3+a2(a3/4)^2-a1a3/4+a0

:

y1=-b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),

y2=-b1/4-(b1^2/16-(1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

y3=b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)

y4= b1/4-(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

 相应地代回,得到的原5次方程的xjj=1,2,3,4,

将它们代入原5次方程根与系数的1个关系式x5=-a0/(x1x2x3x4)即得:x5仅由此5次方程各系数,表达的解。 

 

(4.) 任意6次不可约代数方程,仅引进2次根式,的6个公式解。

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,

x1= a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,

x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  +((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  -((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0),

x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  +((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  -((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

 

(5) 任意7次不可约代数方程仅引进2次根式7个公式解。

x^7+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由:

(x’^6+a’5x’^5+a’4x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x)=

x’^7+(a’5-x)x’^6+(a’4-xa’5)x’^5+(a’3-xa’4)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2

+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

而有x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1)  注意:a5=0

x=y-a5/6,

使(1) 成为:b5=0,的y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0 (1’)

b4=15(a5/6)^2-5a5^2/6+a4

b3=-20(a5/6)^3+10a5(a5/6)^2-4a4a5/6+a3

b2=+15(a5/6)^4-10a5(a5/6)^3+6a4(a5/6)^2-3a3a5/6+a2

b1=-6(a5/6)^5+5a5(a5/6)^4-4a4(a5/6)^3+3a3(a5/6)^2-2a2a5/6+a1

b0=+(a5/6)^6-a5(a5/6)^5+a4(a5/6)^4-a3(a5/6)^3+a2(a5/6)^2+a2(a5/6)^2

+a2(a5/6)^2+a0

 

仅需引进2次根式,即可解出6次方程,(1’) ,各个解,也即是此7次方程仅由方程各系数表达的yjj=1,2,3,4,5,66个解。

 

y1= b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0,

y2=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  +((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y3=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  -((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y4= b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0),

y5=-(b4-(b2a1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  +((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y6=-(b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  -((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

   相应地代回,得到原7次方程的xjj=1,2,,6,

将它们代入原7次方程根与系数的1个关系式x7=-a0/(x1x2x6)即得:x7仅由此7次方程各系数,表达的解。 

这就仅需引进2次根式,即可解得7次的不可约代数方程的公式解。

 

由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的不可约代数方程的公式解。

 

经适当变换,此法还可用于解微分方程和偏微分方程。

 

8.负数的开方,“虚数”与“实数”的区分,“复数”和“共轭复数”

任何负数,-A=-1A,负数,-An次方(-A)^(1/n)=(-1)^(1/n) A^(1/n),

    (-1)2次方, (-1)^(1/2) 就是“虚数符”,i,负数,-A2次方(-A)^(1/2)=iA^(1/2),

任何的数,有或没有虚数符,i,就区分为:“虚数”或“实数”。

“复数”,A,就是实数A1加虚数iA2,复数A=A1+iA2

相应的“共轭复数”A*=A1-iA2

由于,也只有,解决了n次方程,x^n+1=0,仅引进2次根式的解,(-1)^(1/n),就都能,也才能,由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达,例如:

 

(-1)^(1/3)-1, 1/2+i3^(1/2)/2, 1/2-i3^(1/2)/2的相应组合表达。

(-1)^(1/4)-1/2+ i(3/4)^(1/2), -1/2- i(3/4)^(1/2),1/2+ i(3/4)^(1/2), 1/2- i(3/4)^(1/2)的相应组合表达。

(-1)^(1/5)-1, -1/2+ i(3/4)^(1/2), -1/2-i(3/4)^(1/2) ,1/2+ i(3/4)^(1/2),

1/2- i(3/4)^(1/2)的相应组合表达。

(-1)^(1/6)+ i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2, (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2,的相应组合表达。

(-1)^(1/7)=+1, -1, + i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

           (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2,的相应组合表达。

由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。例如:

a^(1/3)-1+(a)^(1/2)-(a)^(1/2)的相应组合表达。

a^(1/4)+i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2)的相应组合表达。

a^(1/6)+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1,+i(a)^(1/2),-i(a)^(1/2)的相应组合表达。

a^(1/5)1, +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2)的相应组合表达。

a^(1/7)+ i-i,+(a)^(1/2),-(a)^(1/2),+1,-1,+i(a)^(1/2),-i(a)^(1/2)的相应组合表达。

 

9. 复数与相应的共轭复数相乘、复数除以复数及复数歌德巴赫猜想证明

复数AA1+iA2与相应的共轭复数A*A1-iA2相乘=相应的实数A1^2+A2^2

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)都是整数成为N=N1+iN2才是整数N

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)2都是整数M=M1+iM2才是偶数,2M表达。

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)2都不是整数M=M1+iM2才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2k=1,2,,m-1的实部与虚部

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)都不是整

数,才是“复数”素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。

 

因而,对于复数,要证明除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加,或扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加”,以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”,就必需,也仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则,就不能证明。

类似地,对于“复数”孪生素数有关特性的证明,也必需,且仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则,就不能证明。

 

10.0和无穷大是特殊的数

0是特殊的整数它和无穷大,与其它数的4则运算都不相同。

任何其它A+0=A A-0=A Ax0=0 A/0=无穷大,

0无正、负之分别,其与其它任何数4则运算结果的正负都有其它数的正负决定。

任何其它正、负数A+正无穷大都=正无穷大、

任何其它正、负数A+负无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-正无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-负无穷大都=负无穷大、

任何其它有限数A /无穷大,都=0

任何有限数/0=无穷大、任何有限数/无穷大=0、使得无穷大和0产生不同的级别,

任何有限数/(n0)=n级无穷大、任何有限数/(n级无穷大)=n0

n级无穷大/(n’0)=(n+n’)级无穷大、n0/(n’级无穷大)= (n+n’)0

以此类推,产生各高级的无穷大和0,并有:

任何有限数 =(n0) (n级无穷大)=(n级无穷大) (n0)

n级无穷大 (n’0)=(n - n’)级无穷大、

n0 (n’级无穷大)=(n - n’)0

0无正、负之分别,其与其它任何数4则运算结果的正负都由其它数的正负决定。

无穷大与其它非0的数乘、除结果的正负,仍按正正为正,负负为正,正负为负,负正为负。

 

11.关于连续性

首先,任何随某个参量, x, 变化的事物某种特性, f(x), 应是一一对应的。x就是变量,f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量的函数是否连续?

其次,严格地说,应该有两个一一对应的无限小,a b。所谓无限小就是小于任意小,可以小到趋近于0,但又不=0,的正数。

x 改变a;则f(x)改变b,当x趋近于 c时,存在对应的f(x) 并且= f(c),就称:x = c 时,f(x) 连续。

但是,对于某些实际情况,例如:化合物、合金、溶液等整体的连续性,所取的任意小就可以不必真正趋近于0,而实际上只需趋近于稍大于其中各原子的尺度,或视觉上近于0,即可。

对于各种事物的各种特性,对应的x 可以是时间、长度、体积,甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于“数”,就要考虑到各类不同的“数”,例如:有理数(整数、分数(小数、循环小数))、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数,都包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上;所有的正、负虚数,包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数,也都可包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上;而全部相应的复数,就是此实数轴虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性,对实数轴虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行,因此,只能对全部实数、虚数、复数进行,而不可能分别对有理数(或整数、分数(或小数)或无理数进行。

 

12. 素数和复数素数的微分和积分,解析数论的发展

序数为从mm+1的变量,x,的整数(适用于实整数或正负虚整数)素数,j(x),的微分,dj(x) ,按其基本性质,应是:

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2,即应是

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)k=1,2,,x-1,

 

序数为为从mm+1的变量,x,的的复数素数,J(x)=J(x)1+iJ(x)2的微分,dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2

实部应是:

dJ(x)1=d((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)1J(x-k)1+J(x)1dJ(x-k)1+-dJ(x)2J(x-k)2--J(x)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2k=1,2,,x-1,即应是:

(J(x-k)1^3+J(x-k)1J(x-k)2^2)dJ(x)1

-(J(x-k)1^2J(x-k)2+J(x-k)2^3)dJ(x)2

+(-(J(x)1J(x-k)1^2+(2J(x)2J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2)J(x-k)2)dJ(x-k)1

+(-(2J(x)1J(x-k)2+J(x)2J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2^2)dJ(x-k)2k=1,2,,x-1,

 

虚部应是:

dJ(x)2=d((J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)2J(x-k)1+J(x)2dJ(x-k)1-dJ(x)1J(x-k)2-J(x)1dJ(x-k)2)

        /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2(J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2k=1,2,,x-1,即应是:

(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)1dJ(x)2

-(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)2dJ(x)1

+(-J(x)2J(x-k)1^2+(2J(x)1J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2)J(x-k)2) dJ(x-k)1

+(-(2J(x)2J(x-k)2+J(x)1J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2^2) dJ(x-k)2k=1,2,,x-1,

 

   这样,有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律如上方法,就能,类似和利用现有的各种解析运算方法,分别由j(x),的微分,dj(x) ,和复数素数,J(x)=J(x)1+iJ(x)2的微分,dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2,和xmm+1的积分,具体发展素数在的解析运算方法。

 

13. “数”本身的特性和规律对客观事物的有关特性和规律的认识和利用

“数”是从客观事物中抽象出来的,它本身的特性和规律,也必然符合客观事物的有关特性和规律,并促进对客观事物的有关特性和规律的认识和利用。例如:

各种“数”,正负数,整数、分数、小数,偶数、奇数,合数、素数,实数、虚数、复数,的产生与区分。

分数与无循环小数相等;而只是趋近于循环小数。

0和无穷大的特殊运算规律。

微分、无穷小,和相应的积分。

对素数的排序、数值的确定及其与其它数类,特别是,偶数、奇数,的相互关系。

各种方程的解,任何n次方程都可仅引进2次根式而得解。

即使方程的系数是复数,也可分解为实、虚2个方程分别求解。

任何高次的根式都能由2次根式的组合,即实数、虚数和复数表达。

一切无理数都可由素数的2次根式表达。

 

以及进而,与各种事物中抽象出的各种维数的“形”而产生的几何、3角、解析几何、微分几何,等特性和规律的研究、发展。

特别是,其中有关的关键性的科学认识和发展,必将促进对一切事物的特性和运动规律的科学认识的革命性发展。

 



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