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简单介绍、全面证明“歌德巴赫猜想”,研究、发展数论

已有 3590 次阅读 2015-1-21 09:27 |个人分类:数理|系统分类:论文交流| 研究、发展数论

简单介绍、全面证明“歌德巴赫猜想”,研究、发展数论

 

中国科学院力学研究所吴中祥 

 

                                                                       

 

    本文全面、具体地简单概括了“哥德巴赫(Goldbach)猜想”的基本内容、已有的主要证明方法,及其主要进展、和存在的困难和问题。

给出了1个表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的简便方法,简单、确切地全面证明“歌德巴赫猜想”,并全面研究、发展,素数、数论和解析数论。

 

1.      什么是哥德巴赫(Goldbach)猜想?它要求证明什么?

 哥德巴赫1742年致信欧拉(L.Euler),提出证明猜想(A)每个等于或大于7的奇数都能写成3个素数之和”欧拉回信指出,为了解决这个问题,只须证明猜想(B)每个等于或大于6的偶数都能写成2个素数之和,对就是所谓歌德巴赫猜想”(A)(B)。也就是它要求证明的内容。

 

2.现有证明歌德巴赫猜想的主要方法

所谓歌德巴赫猜想”(A)(B)都只是奇数、偶数与素数关系的,看来很简单的问题,而许多数学家为证明它,却做了200多年长期的努力,虽已取得很大进展并推动了整个解析数论的发展,但是,这个猜想至今仍然未被完全证明。

它为什么如此难以证明呢?

纵观对此问题的研究现况,关键在于数学家们考虑到: 

每个自然数, n, 1而外,都可表达为: n= p(1)^a(1) p(2)^a(2)p(k)^a(k),  其中,p(1)<p(2)<<p(k), 是顺序增大的素数,  a(1),a(2) ,, a(k)等于或>0, 的指数,但各个素数却很难由自然数或整数的简单表达式表达。

1918G. H. Hardy, s. Ramanujan, 采用一个由p2n求和2iknp的指数函数S(k,n) 其中k01的变量,而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系,因2iknm的指数由k01的积分=1(m=0);  0(m=0), 其中m为任意整数,因而, 方程n=p(1)+ p(2),  p(1), p(2)大于或等3的解数为: D(n)=在上述积分的核乘以S (k, n) 的平方; 方程n=p + p + p , p , p , p 大于或等3的解数为:T(n)= 在上述积分的核乘以S (k, n) 的立方,

这样:

证明猜想(A),就只要证明:对于偶数的n大于或等于6D(n)大于0

证明猜想(B),就是要证明:对于奇数的n大于或等于9T(n) 大于0

因而,证明Goldbach猜想,就只须计算积分D(n)T(n)

     这就是Hardy - Littlewood - Ramanujan圆法的基本思想,它确定了证明歌德巴赫猜想的重要研究方向。

 

3.迄今的主要进展,但仍未全面完成的困难和问题

   但是,计算积分D(n)T(n),也并不容易,一些学者创造、发展、简化、和证明了估算S(k, n)的方法和公式,它对于研究猜想(B)是很成功,而对于研究猜想(A)却收效甚微。

为了化解证明猜想(A)的困难:人们采用首先证明,

每个充分大的偶数是不超过a个素数的乘积和不超过b个素数的乘积之和” (即所谓:命题{a, b}“a + b” ), 其中a, b, 是正整数,

当使a, b,逐步递减为1,命题{1,1},即所谓:“1+1”, 就是猜想(A)

一些学者采用不断改进的筛法 即:对其中的积分函数相应作某些改进,或改为某种相应合用的极限求和,例如:某种pai函数、lin函数,等等,使a, b, 逐渐减小的命题{a, b}得到了证明,

我国数学家陈景润1966年宣布证明了命题{1,2}(即所谓:“1+2” )1973年发表了命题{1,2}的全部证明,这就距歌德巴赫猜想的最终解决,仅“1”之差,但仍未全面完成,人们甚至尚不能肯定沿用现有的方法是否确能最终解决。

 

其实,哥德巴赫猜想原命题(A)(B),都分别只是要证明:等于或大于6的任意偶数;都能表达为2个素数之和,以及,等于或大于7的任意奇数;都能表达为3个素数之和,。并没有任何更多的要求,实际上,它只是关于奇数、偶数与素数关系的初等问题。

而“圆法”,和相应的“筛法”却要由素数的指数乘积的指数函数的积分,这样复杂折腾的方法,来解决。虽然在发展数论,特别是解析数论,方面起了积极的推动作用。但是,却把这个简单的问题作了自讨麻烦地,过分复杂化的处理。

当然,这种方法,及其改进型,对于进一步证明哥德巴赫猜想、发展解析数论,仍不失为一种研究方向和数学分支。而且,由于快速计算机的迅猛发展,这类复杂函数的积分或极限求和的计算,已远比40-50年前,容易得多。甚至当年条件下,不可能完成的计算,也不必像陈景润当年那样,用大量稿纸进行推导、计算,就能实现。因而,仍不失为一种可行的方法。

但是,有些人,甚至有关的专家,却把证明哥德巴赫猜想原命题,局限于创造、发展、简化、估算,S(k, n)的方法和公式,发展圆法和相应筛法基础上的解析数论方法。乃至,背离证明哥德巴赫猜想的具体目标,片面追求用某种积分函数或极限求和,全面概括 圆法基础上的各类筛法 全面掌握素数的分布,及其与其它数列的相互关系。甚至认为,这是证明哥德巴赫猜想的必经步骤,和终极结果,而毫无根据地排斥、否定其它方法。

    甚至,认为,此法不通,就无法解决。乃至多方阻止对它的研究、探讨。

 

4.表达并确定各素数的序数和数值的简便方法

其实,各个自然数, n, 根本无需采用顺序增大的素数来表达,更无需用复杂的所谓“圆法”和相应“筛法”来联系素数、奇数和偶数,而是:

只需由各个自然数的顺序,n,就能确定其数值,n

“偶数”或“奇数”,是由可被或不可被“2”整除,而区分的两类整数。

因而,也可采用整数,m,为序,以,2m,顺序表达各“偶数”;以2m+1顺序表达各“奇数”,并确定其数值。

而“素数”或“合数”,是由除“1”和其自身外,可被或不可被任何整数整除的整数,所区分的两类整数,虽不能简单地顺序确定其数值,但是,按素数“除“1”和其自身外,不可被任何整数整除”的定义,就有,各素数都有不能被,小于它的所有素数,整除,的基本特性。而可采用:

整数,m,以表达各“素数”j(m)顺序.而由j(m)/j(m-k); k=0,1,2,,m-1,都不是整数,判定j(m)是素数。

就完全可以:对j(m)逐次+2,直到j(m)+2s时,(j(m)+2s)/j(m-k); k=0,1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定j(m)+2sj(m+1)

 

   就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,

r(m,1)=j(m+1)-j(m),例如:

 

m      1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15

j(m)   2  3  5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

r(m,1) 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 …

 

200614日,美国密苏里州堪萨斯城官员宣布:

200512月中旬,史蒂文·布恩领导的的美国密苏里州立中央大学研究小组和数学教授柯蒂斯·库珀,花了多年时间给700部电脑编程,得出迄今最大素数:它有910万位,被称为梅森数M30402457,即:2^(30402457)-1

 

“梅森数”即:MP=2^P-1,其中P是素数。但需注意并非所有的“梅森数”都是素数!

 

德国《焦点》周刊网站2008916日报道:

美国洛杉矶以加州大学的埃德森。史密斯为首的研究小组,2008823日,发现的梅森数M43112609,即:2^(43112609)-1。超过了1200万位。

 

国际素数搜索项目“互联网梅森素数大搜索(GIMPS)”经复核验算证实这两个数都是素数。

 

当然,也完全可以具体确定所有素数,j(m),的数值,j(m),和序数,m

 

5.“歌德巴赫猜想”的简单、确切全面证明

   采用如上方法表达和确定素数的数值和序数,就有:

j(1)=2,为“偶数”外,所有的j(m) m>1,的“素数”,都是“奇数”。

而且,所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”,所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”,所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”,

因而,对于整数(也适用于实整数或正负虚整数),就已能容易地,简单、直接、完全证明:

“除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加”,还可以扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加。

 

而且,

 

偶数6=j(2)+j(2),而对于大于6的所有偶数,

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s)ss=0,1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=0,1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k)k=0,1,2,,m-1

 

如此逐次,增大 m,就证明了,大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们

 

奇数7= j(1)+j(1)+j(2),而对于大于7的所有奇数,

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s)+j(m-s)s,ss=0,1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,至少必有如下的1种情况是素数:

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k)=j(m+1-k) k,kk=0,1,2,,m-1

 

如此逐次,增大m,就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们。

 

对于m>3 的任意偶数,2m,由下表具体分析,可知,例如:

m   2m   j(m)  j(m1)+j(m2)     m1    m2

2   4    3

3   6    5         3+3         2      2

4   8    7         3+5         2      3

5   10   11   3+7  5+5         2,3    4,3

6   12   13   5+7              2      4

7   14   17  3+11  7+7         2,4    5,4

8   16   19  3+13 5+11         2,3    6,5

9   18   23  5+13 7+11      3,4    6,5

10  20   29  7+13               4      6

11  22   31  3+19 5+17         2,3    8,7

12  24   37  5+19 7+17         3,4    8,7

13  26   41  3+23 7+19         2,4    9,8

14  28   43  5+23              3      9

15  30   47  7+23 11+19        4,5    9,8

 

对于m>3 的任意奇数,2m+1,由下表具体分析,可知,例如:

m  2m+1   j(m)  j(m1)+j(m2)+j(m3)         m1    m2     m3

2   5  3

3   7  5         2+2+3                     1      1     2

4   9  7         3+3+3                     2      2     2

5  11 11   2+2+7  3+3+5                    1,2    1,2   4,3

6  13 13   3+3+7  5+5+3                    2,3    2,3   4,2

7  15 17   3+5+7  5+5+5                    2,3    3,3   4,3

8  17 19   3+3+11 5+5+7 7+7+3              2,3,4  3,3,4  5,4,2

9  19 23   3+3+13 3+5+11 7+7+5             2,2,4  2,3,4  6,5,3

10 21 29   3+5+13 5+5+11 7+7+7             2,3,4  3,3,4  6,5,4

11 23 31   2+2+19 3+3+17 3+7+13            5+5+13 1,2,3 1,2,3 8,7,6

12 25 37 3+3+19 3+5+13 7+7+11 11+11+3      2,2,4,5 2,3,4,5 8,6,5,2

13 27 41 2+2+23 3+5+19 3+7+17 7+7+13 11+11+5 1,2,2,4,5 1,3.4,4,5 9,7,6,3

14 29 43 3+3+23 3+7+19 3+13+13             2,2,2, 2,4,6, 9,8,6

5+5+19 11+11+7               3,5    3,5    8,4

15 31 47 3+5+23 3+11+17 5+7+19 5+13+13     2,2,3,3 3,5,4,6 9,7,8,6

 

   也都给上述结论以具体验证。以此类推,m更大的任何偶数  和奇数的上述结论也都成立。

 

因而,对于,正整数(适用于实整数或正负虚整数),就已简单、直接地完全证明了:大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”(AB)。完全无需引进复杂复数积分的所谓“圆法”、和相应“筛法”而至今尚不能完全证明歌德巴赫猜想的复杂运算。

 

   特别是,分别给出了偶数,2m,和奇数,2m+1,随着m改变到m+1,由素数,j(m),j(m-k) k=0,1,2,,k-1,表达的变化规律,对研究素数特性,乃至发展数论、解析数论,都有重要作用。

 

7.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(AB),而且,能全面研讨素数的各种特性,例如:

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就能

 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k),  其中,k1,2,,ss2,3,,任意大整数,指数,a(1),a(2) ,, a(k)依次单独从1,2,, s=1,而其它指数均=0,直到往返重复s-1次,则,k=s2,3,,任意大整数,

或级数,J(s)

=j(1)^s,j(2)j(1)^(s-1)j(1)^s+1,j(2)j(1)^(s-1)+1

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)j(1)^(s-j(1))+1)

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)j(1)^(s-j(1))+1)+1

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (j(1)^(s-j(2))+1)+1

… …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)+1 s=1,2,, (任意大的整数)

 

就可依次顺序表达1外的全部自然数n

   类似地

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))2J(s)表达2外的全部偶数2n

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))+12J(s)+1表达13外的全部奇数2n+1

 

     

       (2) 任意2个素数的数值差

r(m,s)=j(m+s)-j(m),除m=1s=1时,r(1,1)=1,是奇数,而外,其他所有m大于1r(m,s),都是偶数。而有:

r(m,1)=j(m+1)-j(m)

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)

r(m+1,1)+ r(m,1)=j(m+2)- j(m)

r(m,s)=j(m+s)-j(m)

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)

r(m+s,1)=j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)

 

(3) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对,即pp+2同为素数。前几个孪生素数分别是:

35)、(57)、(1113)、(1719)等。

100以内有8个孪生素数对;501600间只有两对。随着数的变大,可以观察到的孪生素数越来越少。

2011年,人们发现目前为止最大的孪生素数共有20多万位数。但这个数后面再多找一对孪生素数都要花至少两年的时间。

几百年前就有无穷多个孪生素数的猜想,但至今人们都不知如何证明这个猜想。

 

2013514日,《自然》在突破性新闻栏目里,宣布一个数学界的重大猜想被敲开了大门。

518日,《数学年刊》诞生了创刊130年来最快接受论文的纪录。

华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。

世界震动了!

520日,《纽约时报》大篇幅报道了这个华人学者的工作。

文中引用了刚刚卸任《数学年刊》主编职务的彼得·萨纳克的讲话:这一工作很深邃,结论非常深刻。

”522日,老牌英国报纸《卫报》刊登文章,文章的标题是:鲜为人知的教授在折磨了数世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。

印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人,与印度历史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。

 

存在无数多个素数对,其中每一对素数之差值,如何估算?

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,这问题即:

j(m+s)= j(m)+r(m,s)j(m+s+1)=j(m+s)+2r(m,s)=

并有:j(m+s)/j(m+s-k); k=0,1,2,,m+s-1,都不是整数,j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=0,1,2,,m+s,都不是整数。

因此,即有:r(m,s) =j(m+s)-j(m)  例如:

M=2s=5 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=11j(m+s+1)=13r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)

M=2s=7 j(m)=3j(m+1)=5j(m+s)=17j(m+s+1)=19r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)

M=7s=26 j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=101j(m+s+1)=103r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)

M=7s=28 j(m)=17j(m+1)=9j(m+s)=107j(m+s+1)=109r(m,s)=92=j(m+s)-j(m),等等。

 

显然,只要按表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,确定了:j(m)j(m+1)j(m+s)j(m+s+1)都是素数,而且,j(m+1)-j(m)=2j(m+s+1)-j(m+s)=2,就可以由j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1)的数值完全确定: r(m,s)=j(m+s)-j(m),或r(m+1,s)=j(m+1+s)-j(m+1),就不仅能估计r(m,s)r(m+1,s)<某数的范围,而是能完全确定r的具体数值。而j(m+s)j(m)j(m+1+s)j(m+1),都是有限的数值,当然,r(m,s)r(m+1,s)就只是小于j(m+s) j(m+1+s)的有限数值。

 

类似地,还可研讨有关素数的更多特性。

 

8.对于复数的有关问题

复数AA1+iA2,与相应的“共轭复数”A*A1-iA2,相乘=相应的实数,A1^2+A2^2。复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2)

     =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2)

F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),都是整数,成为N=N1+iN2,才是整数,N

 

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都是整数,M=M1+iM2,才是偶数,2M表达。

 

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都不是整数,M=M1+iM2,才是奇数,2M+1表达。

 

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2k=1,2,,m-1,的实部与虚部,即:

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)

J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)k=1,2,,m-1,都不是整数,才是“复数”素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。

 

 因而,对于复数,要证明除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加,或扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加”,以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,的所谓:“歌德巴赫猜想”(AB)就都必需,也仅需,增加要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则,就不能证明。

   这也正是采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法,不能最终证明,命题{1,1},即所谓:“1+1”,的实质原因。

 

9.对解析数论的发展

   序数为从mm+1的变量,x,的整数(适用于实整数或正负虚整数)素数,j(x),的微分,dj(x) ,按其基本性质,应是:

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2,即应是

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)k=1,2,,x-1,

 

序数为为从mm+1的变量,x,的的复数素数,J(x)=J(x)1+iJ(x)2的微分,dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2

实部应是:

dJ(x)1=d((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)1J(x-k)1+J(x)1dJ(x-k)1+-dJ(x)2J(x-k)2--J(x)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2k=0,1,2,,x-1,即应是:

(J(x-k)1^3+J(x-k)1J(x-k)2^2)dJ(x)1

-(J(x-k)1^2J(x-k)2+J(x-k)2^3)dJ(x)2

+(-(J(x)1J(x-k)1^2+(2J(x)2J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2)J(x-k)2)dJ(x-k)1

+(-(2J(x)1J(x-k)2+J(x)2J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2^2)dJ(x-k)2k=0,1,2,,x-1,

 

虚部应是:

dJ(x)2=d((J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)2J(x-k)1+J(x)2dJ(x-k)1-dJ(x)1J(x-k)2-J(x)1dJ(x-k)2)

        /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2(J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2k=0,1,2,,x-1,即应是:

(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)1dJ(x)2

-(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)2dJ(x)1

+(-J(x)2J(x-k)1^2+(2J(x)1J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2)J(x-k)2) dJ(x-k)1

+(-(2J(x)2J(x-k)2+J(x)1J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2^2) dJ(x-k)2k=0,1,2,,x-1,

 

   这样,有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律如上方法,就能,类似和利用现有的各种解析运算方法,分别由j(x),的微分,dj(x) ,和复数素数,J(x)=J(x)1+iJ(x)2的微分,dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2,和xmm+1的积分,具体发展素数在的解析运算方法。

 

10,参考文献:

[1] 数学百科全书第二卷编委会 (顾问)苏步青 (主任) 王元科学出版社1994

[2] 歌德巴赫猜想潘承洞潘承彪科学出版社 1981

[3] 数论导引华罗庚科学出版社 1957

[4]Asymptotic formula in combinatory analysis,

     Hardy, G. H., Ramanujan, S., Proc. London Math. soc. (2) 17 (1918), 75-115.

 

 



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