数值方程检验任意n次不可约代数方程的多种解法（3）

(接（2）)

1.3．4次方程的解：

(本文给出的如下具体解法有利于推广到n=2m)

对于4次方程：

X^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,             (1.3)

其解可引入1个3次的函数y使方程能分解为含有此函数y的2个2次因式的乘积，而得到函数y为3次的x方程，以其解代入，即可由解2个因式的2次x方程而得解。

原方程可改写为：

(x^2+a3x/2+y/2)^2+(a2-a3^2/4-y)x^2+(a1-a3y/2)x+a0-y^2/4=0,而有：

(x^2+a3x/2+y/2)^2=(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4,

设当上式右边成为x函数的完全平方：

(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4=(c1x+c0)^2

由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,有：

c1^2=(a3^2/4-a2+y),  2c1c0=a3y/2-a1, c0^2=y^2/4-a0,

c1=((a3/2)^2-a2+y)^(1/2),c0=(y^2/4-a0)^(1/2),

2c1c0=2((a3/2)^2-a2+y)^(1/2)(y^2/4-a0)^(1/2)=a3y/2-a1，

(a3^2-4a2+4y)(y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2，亦即得到：

y^3-a2y^2+(a1a3-4a0)y-a0a3^2+4a0a2-a1^2)=0，      (1)

当令：s=y-a2/3, y=s+a2/3,                   (2)

(2)代入方程(1)，即将它简化为s^2的系数=0的形式。即：

y^3=(s+a2/3)^3=s^3+a2s^2+a2^2/3s+a2^3/27

y^2=(s+a2/3)^2=s^2+2a2s/3+a2^2/9

y^3-a2y^2+(a1a3-4a0)y-a0a3^2+4a0a2-a1^2)=0，即

s^3+(a1a3-a2^2/3-4a0)s-a0a3^2+a1a2a3/3-2a2^3/27+8a0a2/3-a1^2=0，

s^3+b1s+b0=0,                                                      (3)

b1=a1a3-a2^2/3-4a0,

b0=-a0a3^2+a1a2a3/3-2a2^3/27+8a0a2/3-a1^2,解得：

s0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，                           (4)

而3次y方程，(1)，的解为：

yj=sj+a2/3;j=0,1,2,                                                    (5)

而原方程可表达为两个x的2次方程：

(x^2+a3x/2+y/2)^2 =(c1x+c0)^2,即有：

x^2+a3x/2+y/2+或-(c1x+c0) =0, 即：

x^2+(a3/2+((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))x+(y/2+(y^2/4-a0)^(1/2))=0,

x^2+(a3/2-((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))x+(y/2-(y^2/4-a0)^(1/2))=0,    (6)

分别求解这两个x的2次方程:

x=-(a3/2+((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))/2

  +(a3^2/8-a2/4-y/4+a3(a3^2/4-a2+y)^(1/2)/4-(y^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),

x=-(a3/2+((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))/2

  -(a3^2/8-a2/4-y/4+a3(a3^2/4-a2+y)^(1/2)/4-(y^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),

x=-(a3/2+((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))/2

 +(a3^2/8-a2/4+3y/4+a3(a3^2/4-a2+y)^(1/2)/4+(y^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),

x=-(a3/2+((a3/2)^2-a2+y)^(1/2))/2

 -(a3^2/8-a2/4+3y/4+a3(a3^2/4-a2+y)^(1/2)/4+(y^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),

以解得(5)，的y代入，即得 4次方程(3.1)的4个根。

其中，除了解3次s方程时，引入了3次的根式；解2次x方程时，引入了2次的根

式外，没有更高次的根式。

对于方程：

x^4 +1=0，                                 (1.3.1)

b1= -4, b0=0,

s0=(-4/3)^(1/2)-(-4/3)^(1/2)=0,

y0=0,

x^2+i=0,  

x^2-i=0,          

分别求解这两个x的2次方程即得 4次方程(1.3.1)的4个根：

x=i^(1/2), -i^(1/2),    (-i)^(1/2)=i i^(1/2), -(-i)^(1/2) =-i i^(1/2),

其中，除了解3次s方程时，引入了2次、3次的根式；解2次x方程时，引入了2次

的根式外，没有更高次的根式。

对于方程：

x^4+x=0，                                 (1.3.2)

b1=0, b0=-1,解得：

s0=1^(1/3),s1=w1 1^(1/3), s2=w2 1^(1/3),

y0=s0=1^(1/3),y1=s1=w1 1^(1/3),  y2=s2=w2 1^(1/3),

以y0代入2个2次x方程。即：

x^2+1^(1/6)x+(1^(1/3)/2+1^(2/3)/4)^(1/2)=0,

x^2-1^(1/6)x+(1^(1/3)/2-1^(2/3)/4)^(1/2)=0,

   分别解得：

x=-1^(1/6)/2+(1^(1/3)/4-(1^(1/3)/2+1^(2/3)/4)^(1/2))^(1/2),

x=-1^(1/6)/2-(1^(1/3)/4-(1^(1/3)/2+1^(2/3)/4)^(1/2))^(1/2),

x=1^(1/6)/2+(1^(1/3)/4+(1^(1/3)/2-1^(2/3)/4)^(1/2))^(1/2),

x=1^(1/6)/2-(1^(1/3)/4+(1^(1/3)/2-1^(2/3)/4)^(1/2))^(1/2),

即得 4次方程的4个根。

当取1^(1/6)=1^(1/3)=1，则：

x=-1/2+(1/4-(3/4)^(1/2))^(1/2),

x=-1/2-(1/4-(3/4)^(1/2))^(1/2),

x=1/2+(1/4+(1/4)^(1/2))^(1/2),

x=1/2-(1/4+(1/4)^(1/2))^(1/2),

注意：若将原方程：x^4+x=0, 分解为：x(x^3+1)=0,

    应解得：

x=0,  1, -i, +i,

其中，除了解3次s方程时，引入了2次、3次的根式；解2次x方程时，引入了2次

的根式外，没有更高次的根式。

对于方程：

x^4+x^3+x^2+x+1=0，                                 (1.3.3)

b1= -10/3,b0=25/27, 解得：

s0=(-25/54+((25/54)^2+(-10/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+(- 25/54-((25/54)^2+(-10/9)^3)^(1/2))^(1/3),

y0=s0+((1/2)^2+1)/3,

x^2+(1/2+(-3/4+y0)^(1/2))x+y0/2+(y0^2/4-1)^(1/2))=0,  

x^2+(1/2-(-3/4+y0)^(1/2))x+y0/2-(y0^2/4-1)^(1/2))=0,          

分别求解这两个x的2次方程即

得 4次方程(1.3.3)的4个根。

对于方程：

x^4 +x^3=0，                                 (1.3.4)

b1=0, b0=0,解得：

s0=0,

y0=1/12,

x^2+(1/2+(1/3)^(1/2)x+1/12=0,  

x^2+(1/2-(1/3)^(1/2)x=0,            

分别求解这两个x的2次方程即得 4次方程(1.3)的4个根。

由：x^2+(1/2+(1/3)^(1/2)x+1/12=0,  解得：

x=-1/4-(1/3)^(1/2)/2+(1/4+(1/3)^(1/2))^(1/2)/2,

   -1/4-(1/3)^(1/2)/2-(1/4+(1/3)^(1/2))^(1/2)/2,

由：x^2+(1/2-(1/3)^(1/2))x=0,   解得：

x=0,  -(1/2-(1/3)^(1/2)),

   还可取y的其它解，和1^(1/3),1^(1/6)的其它值，代入求解。

而由原方程：x^4+x^3=0，可直接分解因式解得：

x=0, 0, 0, -1,

其中，除了解3次s方程时，引入了2次、3次的根式；解2次x方程时，引入了2次

的根式外，没有更高次的根式。

对于方程：

x^4 +x^2=0，                                 (1.3.5)

b1=-1/3,

b0=-2/27,解得：

s0=(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)+(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3),

s1=w1(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3),

s2=w2(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)，                           (4)

而3次y方程，(1)，的解为：

yj=sj+1/3;j=0,1,2,                                                    (5)

而原方程可表达为两个x的2次方程：

(x^2+y/2)^2 =(c1x+c0)^2,即有：

x^2+y/2+或-(c1x+c0) =0, 即：

x^2+ (-1+y)^(1/2)x+(y/2+或-(y/2))=0,

x^2+ -(-1+y)^(1/2)x+(y/2-或+(y/2)))=0,    (6)

分别求解这两个x的2次方程:

x=- (-1+y)^(1/2)/2+( -1/4-y/4-或+(y/2))^(1/2),

x=- (-1+y)^(1/2)/2-( -1/4-y/4-或+(y/2))^(1/2),

x=- (-1+y)^(1/2)/2+( -1/4+3y/4+或-(y/2))^(1/2),

x=-(-1+y)^(1/2)/2-(( -1/4+3y/4+或-(y/2))^(1/2),

以解得(5)，的y代入，即得 4次方程(3.1)的4个根。

以y0代入，有：

x=-(-1+1/3+(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3))^(1/2)/2

+( -1/4-(1/3+(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3))^(1/2)/2)/4

-或+((1/3+(1/27+((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3)

+(1/27-((-1/27)^2+(-1/9)^3)^(1/2))^(1/3))^(1/2)/2)/2))^(1/2),

x=- (-1+y0)^(1/2)/2-( -1/4-y0/4-或+(y0/2))^(1/2),

x=- (-1+y0)^(1/2)/2+( -1/4+3y0/4+或-(y0/2))^(1/2),

x=-(-1+y0)^(1/2)/2-(( -1/4+3y0/4+或-(y0/2))^(1/2),

将原方程直接分解因式；

x^2(x^2+1)=0，解得：

x=0, 0, +i,-i,

其中，除了解3次s方程时，引入了3次的根式；解2次x方程时，引入了2次的根

式外，没有更高次的根式。

（未完待续）