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相对论、量子力学及其场论的,本质、规律,及其必然且必需的发展(17) 在两个不同“正交轴矢系”间,4维时空位置矢变换的推导
(接(16))
对于同一矢量在两个正交系间的变换,其各矩阵元Cjk; j,k=0,1,2,3,是么正的,即有:
{CjkCjk,j=0,1,2,3求和}=1; {CjkCjk,j=0,1,2,3求和}=0; k不=k’=9,1,2,3, (17.1)
可将4维时空位置矢变换表达为:
ict= ict’cos[角0]-sin [角0],
X=ict’sin[角0]cos[角1]+X’cos[角0]cos[角1]-Y’sin[角1], (17.2)
Y=ict’sin[角0]con[角1]cos[角2]+X’sin[角0]sin[角1]cos[角2]+Y’+sin[角1]cos[角2]-Z’sin[角2],
Z= ict’sin[角0]con[角1]sin[角2]+X’sin[角0]sin[角1]sin[角2]+Y’+sin[角1]sin[角2]+Z’cos[角2],
或
ict= ict’cos[角t*]+X’cos[角X*]+Y’cos[角Y*]+Z’cos[角Z*],
X=-ict’cos[角X*]+X’cos[角t*]+Y’cos[角Z*]-Z’cos[角Y*], (17.2’)
Y=-ict’cos[角Y*]-X’cos[角Z*]+Y’cos[角t*]+Z’cos[角X*],
Z=-ict’cos[角Z*]+X’cos[角Y*]-Y’cos[角X*]+Z’cos[角t*],
其中,
ict在ict’ X’平面内,与ict’间夹角为[角0];与X’间夹角为派/2-[角0],X在X’ Y’平面内,与Y’间夹角为派/2-[角1] ;与X’间夹角为[角0],Y在Y’ Z’平面内,与Z’间夹角为派2-[角2];在X’ Y’ 平面的投影与Y’间夹角为[角1],Z在Y’ Z’ 平面内,与Z’间夹角为[角2];在X’ Y’ 平面的投影与Y’间夹角为[角1],
[角t*]是[基矢t’]与[基矢t]间的夹角,[角X*]是[基矢t’]与[基矢X]间的夹角,[角Y*]是[基矢t’]与[基矢Y]间的夹角,[角Z*]是[基矢t’]与[基矢Z]间的夹角,
它们还可以是这两个不同“正交轴矢系”间的时空牵引位置矢(所谓时空牵引位置矢,就是这两个不同“正交轴矢系”原点间的时空位置矢)相应的各方向余弦。即可分别表达为:
cos[角t*]=ict*/r*, cos[角X*]=X*/r*, cos[角Y*]=Y*/r*, cos[角Z*]=Z*/r*, (17.3)
r*=i(1-(X*^2+ Y*^2+ Z*^2)/(ct*)^2)^(1/2),,
以(17.3)代入(17.2’),即有:
ict= ict’ict*/r*+X’X*/r*+Y’Y*/r*Z’Z*/r*,
X=-ict’X*/r*+X’ict*/r*+Y’Z*/r*-Z’Y*/r*, (17.4)
Y=-ict’Y*/r*-X’Z*/r*+Yict*/r*+Z’X*/r*,
Z=-ict’Z*/r*+X’Y*/r*-Y’X*/r*+Z’ict*/r*,
对于惯性系,它们又还可以是这两个不同“正交轴矢系”间的时空牵引速度矢相应的各方向余弦。即可分别表达为:
cos[角t*]=ic/u*, cos[角X*]=u*1/u*, cos[角Y*]=u*2/u*, cos[角Z*]=u*3/u*, (17.5)
u*=ic(1-(u*1^2+ u*2^2+ u*3^2)/c^2)^(1/2),,
以(17.5)代入(17.2’),即有:
ict= ict’ic/u*+X’u*1/u*+Y’u*2/u*+Z’u*3/u*,
X=-ict’u*1/u*+X’ic/u*+Y’u*3/u*-Z’u*2/u*, (17.6)
Y=-ict’u*2/u*-X’u*3/u*+Y’ic/u*+Z’u*1/u*,
Z=-ict’u*3/u*+X’u*2/u*-Y’u*1/u*+Z’ic/u*,
实际上,(17.2’)再经另一个么正变换即可成为(17.2)。而且,该变换的各元,容易由两者各元的关系式解得。
而当u*2=u*3=0,u*1=V,就是通常的:
t=(t’+VX’/c^2/(1-(V/c)^2)^(1/2);
X=(X’+Vt’)/(1-(v/c)^2)^(1.2);
Y=Y’, Z=Z’, (14.4)
(未完待续)
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