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关于“数学”的对话(139)任意n次不可约代数方程的根式解(7)
5次不可约代数方程的根式解
(接(138))
乙:当m=2; n=5, (1)式即方程:
x^5+{aj x^j, j=0到4求和}=0, (13)
甲:啊!!这就到了通常认为不能根式求解的问题。
乙:它果真也能根式求解吗?
甲:我们用类似于解3次不可约代数方程求解的方法试试看。
乙:这就还总可由y=x+a4/5; x=y-a4/5, 将原方程变换为:
y^4的系数b4=0 的形式,即:
y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0, 其中:
b3=10(a4/5)^2
b1=5(a4/5)^4
b0=-(a4/5)^5+a4^5/5^4-a3(a4/5)^3+a2(a4/5)^2-a
甲:可将5次y方程的5个根y0,y1,y2,y3,y4,分别由w1/2,w2/2 (其中:w1=(-1-i3^(1/2))/2, w2=(-1+i3^(1/2))/2, 分别为x^2+x+1=0,的2个根) ,及4个参量z1,z2,z3,z4,表为:
y0=z1+z2+z3+z4,y1=(w1z1+w1z2+w2z3+w2z4)/2,y2=(w2z1+w2z2+w1z3+w1z4)/2,y3=(w1z1+w2z2+w1z3+w2z4)/2,y4=(w2z1+w1z2+w2z3+w1z4)/2,
乙:就可由方程的各根与各系数的关系,得到:
-(y0+y1+y2+y3+y4) =-(z1+z2+z3+z4+(w1z1+w1z2+w2z3+w2z4)/2+(w2z1+w2z2
+w1z3+w1z4)/2+(w1z1+w2z2+w1z3+w2z4)/2+(w2z1+w1z2+w2z3+w1z4)/2)
=-(z1+z2+z3+z4)(1+w1+w2) =0,
甲:因1+w1+w2=0,而此式给不出4个参变量,z1,z2,z3,z4,的关系式,但是,因此,而可仅由4个参变量表达方程的5个根
乙:而且,还得到如下的4个关系式:
b3= y0y1+y0y2+y0y3+y0y4+y1y2+y1y3+y1y4+y2y3+y2y4+y3y4
=(z1^2+z1(5z2+5z3+8z4)+z2^2+z2(8z3+5z4)+z3^2+5z3z4+z4^2)/4,
b2=-(y0y1y2+y0y1y3+y0y1y4+y0y2y3+y0y2y4+y0y3y4
+y1y2y3+y1y2y4+y1y3y4+y2y3y4)
=-(4z1^3+9z1^2z2+9z1^2z3+6z1^2z4+9z1z2^2+12z1z2z3+2(5-w1)z1z2z4+9z1z3^2
+2(5+w2)z1z3z4+6z1z4^2+4z2^3+4z2^2z3+7z2^2z4+8z2z3^2+2(8+w2)z2z3z4
+(9+2w1)z2z4^2+4z3^3+9z3^2z4+9z3z4^2+4z4^3)/8,
b1= y0y1y2y3+y0y1y2y4+y0y1y3y4+y0y2y3y4+y1y2y3y4
=((2w1-1)z1^4-9z1^3z2+(4w2-7)z1^3z3+2(w1-2)z1^3z4-12z1^2z2^2
+(2w2-13)z1^2z2z3-6z1^2z2z4-12z1^2z3^2+4(w1-1)z1^2z3z4+3z1^2z4^2
-9z1z2^3-6z1z2^2z3-9z1z2^2z4-6z1z2z3^2+2(w1-4)z1z2z3z4-6z1z2z4^2
+(2w1-9)z1z3^3+2(2w1-5)z1z3^2z4+3z1z3^2z4+2(w2-1)z1z3z4^2-6z1z4^3
+(2w2-3)z2^4-6z2^3z3+(2w2+1)z2^3z4+6w2z2^2z3z4-12z2^2z4^2
+2(w2-1)z2z3^3+2(w1-7)z2^3z4+3z2^2z3^2+2(w1-1)z2z3^3+2w2z2z3^2z4
+(2w2-11)z2z3z4^2-9z2z4^3-3z3^4+(4w1-7)z3^3z4+6w1z3^2z4^2
+2w1z3z4^3-2z3^3z4+(2w2-7)z3z4^3-3z4^4)/16,
b0=-y0y1y2y3y4
=-(z1^5+2z1^4z2+z1^4z3+z1^4z3+w2z1^4z4+z1^3z2^2+5z1^3z2z3-2z1^3z2z4
+z1^3z3^2+w2z1^3z3z4+z1^2z2^3+3z1^2z2^2z3+3z1^2z2^2z4+3z1^2z2z3^2
-3z1^2z2z3z4+3z1^2z2z4^2+z1^2z3^3+(2-w2)z1^2z3^2z4+3z1^2z3z4^2
+z1^2z4^3+2z1z2^4-z1z2^3z3+(3+w1)z1z2^3z4+3z1z2^2z3^2-3z1z2^2z3z4
+3z1z2^2z4^2-z1z2z3^3-w1z1z2^3z4-3z1z2z3z4^2-z1z2z4^3+2z1z3^4
+(5+w1)z1z3^3z4+4z1z3^2z4^2-z1z3z4^3-z1z4^4+z2^5-z2^4z3+2z2^4z4
+z2^3z3^2+w2z2^3z3z4+z2^3z4^2+z2^2z3^3+w1z2^3z3z4+3z2^2z3^2z4
+3z2^2z3z4^2+z2^2z4^3-z2z3^4-z2z3^3z4+3z2z3^2z4^2+5z2z3z4^3+2z2z4^4
+(1+w2)z3^5+(3+w1)z3^4z4+z3^3z4^2+z3^2z4^3+2z3z4^4+z4^5)/16,
甲:即得:4个参变量zj; j=1,2,3,4,的如下4个方程:
z1^2+z1(5z2+5z3+8z4)+z2^2+z2(8z3+5z4)+z3^2+5z3z4+z4^2+4b3=0, (
4z1^3+3z1^2(3z2+3z3+2z4)+3z1(3z2^2+4z2z3+4z2z4+3z3^2+4z3z4+2z4^2) +4z2^3+3z2^2(2z3+3z4)+3z2(2z3^2+4z3z4+3z4^2)
+4z3^3+9z3^2z4+9z3z4^2+4z4^3+8b2=0, (
z1^4+z1^3(3z2+3z3+2z4)+z1^2(4z2^2+z2(3z3+2z4)+4z3^2+2z3z4-z4^2)
+z1(3z2^3+z2^2(2z3+3z4)+z2(2z3^2+2z3z4+2z4^2)
+3z3^3+3z3^2z4+2z3z4^2+2z4^3)
+z2^4+z2^3(2z3+3z4)+z2^2(z3^2+2z3z4+2z4^2)
+z2(2z3^3+2z3^2z4+3z3z4^2+3z4^3)
+z3^4+3z3^3z4+4z3^2z4^2+3z3z4^3+z4^4+16b1/3=0, (
z1^5+z1^4(2z2+2z3-z4)+z1^3(z2^2+z2(5z3-z4)+z3^2-z3z4+z4^2)
+z1^2(z2^3+z2^2(3z3+3z4)+z2(3z3^2-3z3z4+3z4^2)
+z3^3+3z3^2z4+3z3z4^2+z4^3)
+z1(2z2^4+z2^3(-z3+5z4)+z2^2(3z3^2-3z3z4+3z4^2)
+z2(-z3^3-3z3^2z4+3z3z4^2-z4^3)
+2z3^4+5z3^3z4+3z3^2z4^2-z3z4^3-z4^4)
+z2^5+z2^4(-z3+2z4)+z2^3(z3^2-z3z4+z4^2)
+z2^2(z3^3+3z3^2z4+3z3z4^2+z4^3)
+z2(-z3^4-z3^3z4+3z3^2z4^2+5z3z4^3+2z4^4)
+z3^5+2z3^4z4+z3^3z4^2+z3^2z4^3+2z3z4^4+z4^5+16b0=0, (
乙:由此4个方程,解得4个参变量zj; j=1,2,3,4, 即得:5次y方程的根式解。
甲:具体解法如下,即:
由zj; j=1,2,3,4,和b3,b2,表达的(1)与(2),逐次降幂z1至其1次幂,解得:
仅由zj;j=2,3,4,和b3,b2,表达的z1。
将由此解得的仅由zj;j=2,3,4,和b3,b2,表达的z1,分别代入(3)和(4),得
到仅由zj;j=2,3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
再由zj; j=2,3,4,和b1,b0,表达的(3)与(4),逐次降幂z1至其1次幂,解得:
仅由zj;j=2,3,4,和b1,b0,表达的z1。
将由此解得的仅由zj;j=2,3,4,和b1,b0,表达的z1,分别代入(1)和(2),得
到仅由zj;j=2,3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
由zj; j=2,3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
幂,解得:仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的z2。
将由此解得的仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的z2,分别代入(
得到仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
由zj; j=2,3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
幂,解得:仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的z2。
将由此解得的仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的z2,分别代入(
得到仅由zj;j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
由zj; j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
幂,解得:仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的z3。
将由此解得的仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的z3,分别代入(
得到仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的(3*)和(4*)。
由zj; j=3,4,和b3,b2,b1,b0,表达的(
幂,解得:仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的z3。
将由此解得的仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的z3,分别代入(
得到仅由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的(1*)和(2*)。
由z4,和b3,b2,b1,b0,表达的(1*)与(2*),逐次降幂z4至其1次
幂,解得:仅由b3,b2,b1,b0,表达的z4。
将由此解得的仅由b3,b2,b1,b0,表达的z4,分别代入(
得到仅由b3,b2,b1,b0,表达的z3。
再由此解得的仅由b3,b2,b1,b0,表达的z4、z3,代入(
得到仅由b3,b2,b1,b0,表达的z2。
再由此解得的仅由b3,b2,b1,b0,表达的z4、z3,z2代入(1)
得到仅由b3,b2,b1,b0,表达的z1。
于是,解得:5次y方程的解。yj; j=0,1,2,3,4,
乙: 而5次x方程的解就是:
xj=yj-a4/5; j=0,1,2,3,4,
甲:还可以看到,与解3次方程时不同,此处求解各参量时,都可逐次降幂到该参量的1次幂,因而,其解的整个过程中,都不含任何根式。
(未完待续)
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