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关于“数学”的对话(137)任意n次不可约代数方程的根式解(5)
3次不可约代数方程的根式解
(接(136))
乙:当n=3, 即方程:
x^3+a2x^2+a1x+a0=0, (6)
甲:这3次的x方程有3个根x1,x2,x3,且有:
-(x1+x2+x3)=a2, x1x2+x2x3+x3x1=a1, -x1x2x3=a0,
乙:是或也可像2次方程那样,直接利用方程的根与系数的关系式求解呢?
甲:不能!因为当消去两个根后得到另1个根的方程却是更高次的方程而无法得解。
乙:那该怎样求解呢?
甲:对它的解法就是:利用x^2+x+1=0,的2个根,
w1=(-1-i3^(1/2))/2, w2=(-1+i3^(1/2))/2,
并引进两个参量z1,z2,将y的3个根由w1,w2,分别表达为:
y0=z1+z2,y1=w1z1+w2z2,y2=w2z1+w1z2,
乙:这就可利用方程的根与系数的关系建立起两个参量z1,z2的方程求解了。
甲:是的!但是,由于有w1+w2+1=0,的特点,就还需将原方程变换为其中第2项的系数=0。
乙:这容易由令:y=x+a2/3, x=y-a2/3代入 原方程,做到。即得:
y^3+b1y+b0=0, 其中:
b1=a1-a2^2/3, b0=a0-a
甲:这就正是可以仅引进两个参量z1,z2,表达方程3个根,并利用方程的根与系数的关系建立起两个参量z1,z2的两个方程求解的实际原因。
乙;这样,由方程的根与系数的关系,就有:
-(z1+z2+w1z1+w2z2+w2z1+w1z2)=-(z1+z2)(1+w1+w2)=0, (因1+w1+w2=0)
b1= (z1+z2)(w1z1+w2z2)+(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)+(w2z1+w1z2)(z1+z2)
= w1z1^2+ w2z1z2+w1z1z2+ w2z2^2
+w1w2z1^2+w1^2z1z2+w2^2z1z2+w1w2z2^2
+w2z1^2+w2z1z2+w1z1z2+w1z2^2
=(w1+w2+w1w2)z1^2+(2w2+2w1+w1^2+w2^2)z1z2+(w1+w2+ w1w2)z2^2
=-3z1z2,
即:z2=-b1/(3z1), (
b0=-(z1+z2)(w1z1+w2z2)(w2z1+w1z2)
=-(w1w2z1^3+w1^2z1^2z2+w2^2z1^2z2+w1w2z1z2^2
+ w1w2z1^2z2+w1^2z1z2^2+w2^2z1z2^2+w1w2z2^3)
=-(z1^3+z2^3),
即:z1^3+z2^3=-b0, (
甲:联立(
z1^3=(-b0+(b0^2+4(b1/3)^3)^(1/2))/2
=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2),
z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),
z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),
乙:于是,解得任意的3次y方程的解:
y0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),
y1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)
+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),
y2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)
+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),
甲:而原任意的3次x方程的解为:
xj=yj-a2/3; j=0,1,2,
这就是3次不可约代数方程的根式解。
(未完待续)
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