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再讨论“无穷大”
曹广福博友:
你的新博文“中秋节大话无穷大”对“无穷大“作了些有趣的调侃。
本博客系列博文“关于‘数学’的对话“中,已有多篇讨论到“无穷大“,与你的论点有很多差别。
因此,也想再对“无穷大“与你作点讨论:
你引用电视剧《笑傲江湖》中刘欢所唱的、曲调优美的插曲“人心无穷大”,说:
“无穷大有哲学层面上的、佛学层面上的、宇宙学层面上的,还有人文学层
面上的,可谓五花八门,多姿多彩”、“远不像数学里的无穷大那么枯燥乏味”。
但是,本博客 “关于‘数学’的对话“中,已经指出:各种数都是从实际
事物中抽象出,并按其本身的客观规律性而产出生产的。
在回复二傻的有关提问时,还具体说到:
"无穷大"和"无穷小"都是从现实世界中产生的概念!
时空和数都是可无限扩展的!宇宙无始无终,数可至正负无穷!
这就是现实世界中的"无穷大"!
变量和相应变化的函数,应是有相应比值,
其比值是有随变量的大小而变的规律性,
当变量趋向于尽可能小,就有确定的比值!
而这样的变量和相应变化的函数,就是一类"无穷小"!
这类涉及“无穷”的确问题还有很多,例如 “关于‘数学’的对话“中,
已经讨论到的:某些有理分数,例如1/3等,可由相应的有限位数的无限循环
小数趋近地表达,而无理数就也可用无限位数的无限循环小数趋近地表达,还有,
无穷项級数,以及求其极限的问题,等等。
因此,还是应强调数学里的无穷大能反映其在实际事物中的本质。不管在什
么层面上,如何的五花八门,多姿多彩,只要是谈到“无穷大“就不能偏离
数学里的本质含义。讨论“无穷大“就应按数学里的本质含义进行。
至于其它那些“层面”的具体不同,还可另文再讨论。
而且,无穷大本身就有很丰富、有趣的独特性质,并不“那么枯燥乏味”。
你说:“在数学上无穷大是指要多大就有多大,也就是指你随便给出一个多
么大的数,无穷大总可以比你给定的数大,所以无穷大是一个变量。无穷小
则是指要多小就有多小,它可以无限趋向于零,你随便给出一个多么小的数,
无穷小总可以比你给定的数要小。换句话说,无穷小也是一个变量”,
在“关于‘数学’的对话”和有关的讨论中,也已说到:
“无穷大是要多大就有多大;无穷小是要多小就有多小,可以趋于0,”、
“无穷大和无穷小还都没有确定的数值,不是通常的常数”,
所以,在这些观点上,咱们是一致的。
但是,它们也不是你所说的通常的变量,它们既非通常未知的变量;也非通
常确定的变量与相应确定的函数。它们是有确定数量范围;但并无确定数值的量。
它们还都可以有正和负。
正、负的无穷大可以是一个数轴的正、负两端。但是,这两端究竟伸到多远?
就并不确定,而只能是要多远就有多远。
正、负的无穷小可以是一个数轴靠近通常的常数0的正、负两边的数。但
是,这两边究竟靠到多近?就并不确定,而只能是要多近就有多近。
也可看作:在3维空间,以原点为中心的球体,
当半径伸至无限长的球面各点与原点的距离,就都是无穷大,而且,也无所
谓正、负。至于半径伸至多长?就也并不确定,而也只能是要多长就有多长。
当半径缩至无限短的球面各点与原点的距离,就都是无穷小,而且,也无所
谓正、负。至于半径缩至多短?就也并不确定,而也只能是要多短就有多短。
有人认为:无穷大就是无穷小,是因为在数轴上,误把“负的无穷大”定义
为无穷小所致。而按正确的定义,无穷大就决不可能是无穷小。
而且,也并非你所说的:“不过有一个特殊的无穷小量却是个常量,这就是0。有些人认为0不是无穷小,人们只是用0代表无穷小,这是常识性的错误”。
无穷小并不“就是0”,而只是可以趋于0。
你批判:“有人把无穷大与0看作对立统一的两个方面,在概念上可能有
些混淆,0的确是个无穷小,但是一个特殊的无穷小,虽然它不代表虚无,然而
无论从什么层面上看,它都是个确定的量,即常量,怎么可以和玄而又玄的无穷
大相提并论?1/0只是个符号,很多人之所以把0与无穷大看作对立的统一,
就在于对这个符号的理解上存在误区!”。
可能正因为没能弄清:此处的0,并非通常常量的0,而只是趋于0的无穷
小。
而所谓“任意常量/
是一个 符号。任意常量/无穷小就应该=无穷大。
所以有人把无穷大与这种实际上是无穷小的0看作对立统一的两个方面是
并不错误的。
其实,这也类似于[二傻]至今始终弄不清:0,333……的无限循环小数等
于1/3,只是趋近于1/3,而总认为“有鬼”一样。
类似的,还有例如:
求无穷项級数的极限,也虽是用“=”号,表达与其极限值的关系,但是,
求和項n也是必需趋于无穷。
因而,实际上,这些也都是只是趋于其极限值。而也可认定为是一种有条件
的相等。
“关于‘数学’的对话”还强调:
“0(此处的确,实际表达的是趋近于0的无穷小)和无穷大还都是特殊的
数!”、“通常所謂:“n=
但是,要特别注意:它们的4则运算也与其它的数的都不相同。
并具体举出:
0和无穷大与其他数A(不是0和无穷大),有很大的差別,例如:
任何其他的数A的4则运算都可表达为另一其他的数。
但是,任何其他数A+0就是还=A,任何其他数A-0也还是=A,
任何其他数Ax0卻都是=0,任何其他数A/0卻都是=无穷大。
无穷大加任何其他数A还是=无穷大,无穷大減任何其他数A还是=无穷大,
无穷大乘任何其他数A还是=无穷大,无穷大除任何其他数A还是=无穷大,
任何其他数A除以无穷大=0,
还有很重要的不同:
0和无穷大的自连乘积都有不同的幂级!
例如:0^j,(无穷大)^k,等等
任何其他数乘以0^j=0^j,任何其他数乘以(无穷大)^j=(无穷大)^j,
0^j乘以0^k=0^(j+k),
(无穷大)^j乘以(无穷大)^k=(无穷大)^(j+k),
0^j乘以(无穷大)^k=0^(j-k)=(无穷大)^(k-j),
任何其他数除以0^j=(无穷大)^j,任何其他数除以(无穷大)^j=0^j,
0^j除以0^k=0^(j-k),
(无穷大)^j除以(无穷大)^k=(无穷大)^(j-k),
0^j除以(无穷大)^k=0^(j+k)=(无穷大)^-(j+k),
0^j除以任何其他数=0^j,(无穷大)^j除以任何其他数=(无穷大)^j,
0^j除以0^k=0^(j-k),
(无穷大)^j除以(无穷大)^k=(无穷大)^(j- k),
(无穷大)^k除以0^j =(无穷大)^(j+k)=0^(-j-k),
0^j除以0^j=0/0=任何其他数,
(无穷大)^j除以(无穷大)^j=(无穷大)/( 无穷大)=任何其他数,
由此还可以看到:同冪級的0和无穷大还是互为倒数的!
看來,0和无穷大确实与其他数有很大的不同!
特別是:0和无穷大还似乎还有不同的級別哩!它們都可以有各自不同的方
次,而有不同的性質。
其实,这用前面的无穷大和无穷小的3维球体就容易理解:它们的半径是1维的,它们的圆面和球面是2维的,它们的球体是3维的。
同級的0相加、減,都还是该級的0,
不同級的0相加、減,就还是不同級的0相加、減,
同級的无穷大相加就还是该級的无穷大,
同級的无穷大相減就可能是任意数包括低于该級的无穷大,
可见,无穷大、无穷小,以及无穷小趋近而所表达的0,本身就有很丰富、
有趣的独特性质,并不“那么枯燥乏味”。
而且,它们的这些特性观点,在实际的问题中,例如:将相对论的运动质量
用于对光子特性的分析,都有重要的意义与作用。
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