关于“数学”的对话（22）

（接（21））

乙：那么，应如何推广到(2n+1)乘(2n+1)数阵，各行、列、对角各数之和都相等排列的大致规律呢？

甲：首先，可看出：按这种条件，这种(2n+1)乘(2n+1)数阵，是有从1到(2n+1)^2的共(2n+1)^2个数排成的方阵。

其中，各行、列、对角都有(2n+1)个数。

乙：这样我们就可以设定各行、列、对角的这(2n+1)个数就分别为：a1、a2、．．．、a(2n+1)

甲：这种(2n+1)乘(2n+1)数阵共有从1到(2n+1)^2的共(2n+1)^2个数的总和就是(2n+1)^2乘(1+(2n+1)^2)/2 。

而且，共有(2n+1)行（或列），各行（或列）各数之和相等。各行、列、对角各数之和应是：(2n+1)乘(1+(2n+1)^2)/2。

乙：当n=1，2n+1=3，各行、列、对角各数之和=15。 

    当n=2，2n+1=5，各行、列、对角各数之和=65。 

    当n=3，2n+1=7，各行、列、对角各数之和 =175。

    当n=4，2n+1=9，各行、列、对角各数之和 =369。

．．．

甲：我们还看到：这(2n+1)^2个数正中的那个数就是（1+(2n+1)^2）/2。

乙：这样我们就有了：

当n=1，2n+1=3，这(2n+1)^2个数正中的那个数=5。 

    当n=2，2n+1=5，这(2n+1)^2个数正中的那个数=13。 

    当n=3，2n+1=7，这(2n+1)^2个数正中的那个数 =25。

    当n=4，2n+1=9，这(2n+1)^2个数正中的那个数 =41。

．．．

甲：包含有正中的那个数，（1+(2n+1)^2）/2，的行、列、对角各线就都只有4条。而且，每条都有n对相互对应的数，共4 n对。当使这些线上距正中那数对距离的数的值与正中那数的差值相同，且分布均匀，就能造成满足各行、列、对角各数之和都相等的条件。

乙：这样，我们就可以确定：

当n=1， a2=5;

a1=1; a3=9, a1=2; a3=8, a1=3; a3=7, a1=4; a3=6,

当n=2, a3=13; a1+a5=a2+a4=(65-13)/2=26也=25+!,

a1=1; a5=25, a1=2; a5 =24, a1=3; a5=23, a1=4; a5=22,

a1=5; a5=21, a1=6; a5=20, a1=7; a5=19, a1=8; a5=18,

a1=9; a5=17, a1=10; a5=16, a1=11; a5=15, a1=12; a5=14,各数。

当n=3, a4=25; a1+a7=a2+a6=a3+a5=(175-25)/3=50也=49+1,

a1=1; a7=49, a1=2; a7=48, a1=3; a7=47, a1=4; a7=46,

a1=5; a7=45, a1=6; a7=44, a1=7; a7=43, a1=8; a7=42,

a1=9; a7=41, a1=10; a7=40, a1=11; a7=39, a1=12; a7=38,

a1=13; a7=37, a1=14; a7=36, a1=15; a7=35, a1=16; a7=34,

a1=17; a7=33, a1=18; a7=32, a1=19; a7=31, a1=20; a7=30,

a1=21; a7=29, a1=22; a7=28, a1=23; a7=27, a1=24; a7=26,各数。

（未完待续）

 

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