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复数与复空间大小的讨论
有人认为:不能定义复数与复空间的大小。但没能说出:为什么不能?
有人认为:给复数定义大小可能是有点问题,说成定义一种“序”,即“字典序”好点。但也没说出:可能是有点什么问题?说成“序”即“字典序”,为什么会“好点”?怎么样的“好”?
有人解释说:复数如果看作矢量,其点乘是AC+BD,如果做叉乘,就跑到复平面外面去了。
序结构与复数通常的乘法运算(即复空间的那种运算)不能兼容。
如果按字典序定义序结构,i与自身乘一下就会出问题,
通俗点说,实数中诸如“A<B,C>0可以推出AC<BC”等性质不再成立。
因此在复平面内定义序结构没有多大意义。
为此,须作如下讨论:
1. 所谓“序”、“字典序”是什么?
“序”是按某种原则,排列的事物的顺次。
对于不同的事物,分别有不同的恰当的排序原则,而会得到不同的顺序。例如:
人们排队,可按到达的先后、身材的高低(还有高先与低先的不同);人名的排序可按姓名顺序的笔画数或拼音首字母的顺序,等不同的原则排序,就都分别有不同的结果顺序。
“字典序”就是一般序的一种特例。是按各字笔画的某种顺序规定,或各拼音字母的顺序等等的原则,对所有的字进行的排序。
可见:它们都是必须有明确的排序原则才能进行。如果没有明确的排序原则,又怎能,和如何,进行排“序”或“字典序”?!
2. 所谓“大小”的含义。
通常所用“大小”是表达了广泛而确定的含义:包括:数量的多少,线度的长短,面积的广狭,体积的肥瘦,时间的久暂,乃至年龄的老幼,职位的高低,等等,
对于“数”来说,就应是明确表示:其所代表的数量的多少。
用数轴表达“数”的大小,就明确地应是:用数轴上的相应长度表示各该数所代表的数量的多少。
可见,对于所有的“数”,只能以其大小作为排序的原则才能排出其序。否则,是没法排序的。
如果“不能定义复数与复空间的大小”,又能按什么原则,来给它们排“序”或“字典序”呢?!
3.如何确定复数与复空间大小和“序”?
对于实数,其数值的大小是确定的,完全可按其数值的大小,排定其“序”,也能排定其在实数轴上的“序”。
虚数是各相应的实数乘以i,也完全可按其相应的实数数值的大小,排定其“序”,也能排定其在虚数轴上的“序”。
而复数与各种复空间,就可分别如下排序:
(1)实、虚两正交数轴组成的2维复平面
在此复平面上4个相限内的具体表达,例如:
A+iB;-A+iB,-A-iB,A-iB,它们就相当于复平面上4个相限内的4个矢量。
它们的模长就分别是它们的自乘积开平方。
与矢量运算一样,同一矢量的叉乘=0,它们的自点乘积就是它们的自乘积,即:
它们的模长均为:(A^2-B^2)^(1/2),
A+iB与-A+iB的点乘:-A^2-B^2, 叉乘:2iAB
A+iB与C+iD的点乘:AC-BD, 叉乘:i(AD-BC),”
它们的大小都与相应的矢量的大小相类似地确定,只是还需注意虚数因子i的运算。
在此,它们的模长(A^2-B^2)^(1/2)与实数矢量的模长(A^2+B^2)^(1/2),当然应该不同,因为有虚数因子i的平方存在。
这正反映出这种类复空间应有的特点,怎能反而,以此,认为:
“叉乘就跑到复平面外面去了。”、
“与复数通常的乘法运算(即复空间的那种运算)不能兼容。”、
“在复平面内定义序结构没有多大意义。”呢?!
(2)闵可夫斯基4维复时空矢量
对此复时空矢量,
时轴分量的模长为虚数的1维:ict,
空间分量的模长为实数的3维:r1,r2,r3,
此矢量的模长为它的自乘积即自点乘积开平方:
(-(ct)^2+(r1)^2+(r2)^2+(r3)^2)^(1/2),
由于4维的矢量已能形成各种多线矢,它们的矢量表达与矢算就已与通常3维空间的显著不同,需创建相应的矢量表达与矢算。而通常3维空间的是它的低维特例。但是,都能确定各种多线矢的相应大小(模长)
详见本博客有关博文。
(3)通常1维空间的复数
通常的复数可看作在1维空间既有实数部;又有虚数部的数。
那么,是否就不能确定其大小呢?!
例如:复数A+iB与C+iD,
对其实数部:可由A与C的大小确定其大小。
对其虚数部:可由B与D的大小确定其大小。
它们各自模长的大小可分别如下表达:
(A^2-B^2)^(1/2),(C^2-D^2)^(1/2)
复数A+iB与C+iD的乘积可表达为既有实数部;又有虚数部的:
AC-BD+i(AD+BC),
当然,复数的运算结果会与实数或纯虚数的运算结果不同。
但是,也都完全能确定其大小。
(4)多维复数的空间矢量的大小
只是各维的模长都是相应的复数。其各多线矢的矢算和大小(模长)都与相应实空间的类似,只是也须注意其中虚数因子i的作用。
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