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关于“数学”的对话(11)
(接(10))
乙:有位游客看到“必须弄清: “循环小数”只是趋近于而非通常严格意义的等于“等于”相应的“分数” ,责问:“这话对吗”?
甲:已经具体说明,还须特别注意:无限循环小数与有限位小数的原则差别:
有限位小数是与其相应的分数相等的。
而循环小数和无限不循环的小数,虽然仍用“=”号表达与其相应的分数,但由于:它们都必须有无限的小数位,而只能是趋近于,而不是等于其相应的分数,或开方数,或圆面积等等。
他认为这些论点,怎么不对?!要怎样才对?!
乙:他给出了无限循环小数0.999999… 和1,在严格意义上相等,的初等证明,即:设x=0.999999… , 则 10x=9.99999…=9+0.999999…=9+x, 即
9x=9, 所以 x=1.
并说:如果小数点后只写有限个9,那才叫逼近。批评作者对极限概念的理解太肤浅,希望不要传播错误的知识。
甲:他这个所谓"证明",也只在小数点后有无限多个9,才是成立的,
否则,若非无限多个9,例如:设只是x=0.999999,则10x=9.99999就=9+0.999999(小数点后就少了1个9)就不=9+x, 所以 x就不=1!
既然必须有无限多个9,就表明:0.999999…只是趋近于!,而不同于绝对意义的等于!
这就,显然,与0.5=1/2,0.25=1/4,等等有限位的小数是不同的,必须把它们严格区分!
否则,就会分不清如上的差别,而会像二傻那样遇到“鬼“的!
乙:而且,他所谓:"如果小数点后只写有限个9,那才叫逼近",也是弄错了概念。那只是"近似",并未"逼近"!
甲:是的!只有小数点后有无限个9,才"趋近于",也叫"逼近于"1!
这里所讲到的,正是要纠正他这种错误的观点啊!
乙:确实,小数点后有无限位的如上两种情况,虽然也都用“=”号表达,但由于:它们都需有无限的小数位,而只能是趋近于,而不是等于其相应的分数” 。
但是,那位游客却仍然认为:“这个观点是错误的”!并说:“关键在于对有限与无限过程的差别没有区分开来,是拿有限的观点考虑无限过程”。
甲:实际上,从他那个x=1的所谓证明,而要否定趋于与等于的差别,才说明:
他自己"对有限与无限过程的差别没有区分开来"啊!
乙:看来,他确实没有弄清无限循环小数只能是趋近于相应的分数!
需要弄清楚:
“无限循环”与“趋近于”的必然关系!
无限循环小数只能是趋近于相应的分数!
甲:其实,求无穷项级数的极限,虽也是用“=”号,表达与其极限值的关系,但是,其求和项n也是必需趋于无穷,因而,实际上,也只是趋于其极限值。
也是有条件的相等。
乙:看来,对于无穷项级数的极限,也确实必须弄清楚这个条件。
(未完待续)
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