欧拉公式的简单证明

 

利用由泰勒无穷级数展开式

f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)/1! +(x-a)^2f”(a)/2!+…，

当a=0.得到：

f(x)=f(0)+ xf’(0)/1! +x^2f”(0)/2!+…，

 

由此，可导出一些简单函数的无穷级数展开式。例如：

 

e^(x)=(x)^n/n!,n由0到无穷求和。

 

当取x=1, 即得：e=1/n!,n由0到无穷求和。

 

当取x=iA，即得：e^(iA)=(iA)^n/n!,n由0到无穷求和。

 

又有：

siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!-…+(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。

cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!-…+(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+…。

 

sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+…+(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。

cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+…(iA)^(2k)/(2k)!+…。

也须注意：以上“=”号右边各级数展开式都必需无穷项才趋近与左边的函数，否则只能给出相应的近似值。

而以下各式的“=”号两边的各函数就是严格意义的相等。

有；sinh(iA)=isin A;  cosh(iA)=cos A,

    因而，有：

e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA,

e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA,

 

即得到欧拉公式：

 

    当A=派（180度），即有：

e^(i派)=cos派+isin派=-1+0，  e^(i派)+1=0，

e^(-i派)=cos派-isin派=-1-0，  e^(-i派)+1=0，

 

    还有：

e^(i派)+e^(-i派)=-2，

e^(i派)-e^(-i派)=0，

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