关于“数学”的对话（9）

（接（8））

甲：还须特别注意：无限循环小数与有限位小数的原则差别：

有限位小数是与其相应的分数相等的。但是，循环小数和无限不循环的小数，就虽然仍用“=”号表达，但由于：它们都需有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数，或开方数，或圆面积等等。

乙：这个问题很重要吗？

甲：是的！你看，曾经有小傻问：0.9999999… (无限循环数)是不是等于1?

乙：啊！对这问题，确实就曾使得二傻感到：

“严格说应该不等于1, 但在极限情况下和1没有区别”。

但是，在说这话的时候心里又特没底,总觉得像是在骗小孩子!

因为，可以十分容易地证明:

1/3 = 0.333…，又有: 0.333… * 3 = 0.999…，.

所以: 0.999… = 0.333… * 3 = 1/3 * 3 = 1.

显然，在严格意义上，它就等于1.

真是见了“鬼”了!

甲：这在于：只有"无穷循环"的小数 0.333…（后面的3有无穷多个），才趋于1/3！

它，实际上，并不是通常意义的=1/3 ！
区分清楚："趋于"与"等于"，就应是捉住在此所感到的那个"鬼"的关键所在！

乙：二傻又举出，有人给出：”1/3不等于1/6*2”的证明如下:
1/3=0.333… (最后一个数字是3)
1/6*2=0.161616…(最后一个数字是6)*2=0.333…2 (最后一个数字是2)

    两者并不相等！

甲：这里所证明的，实际上，只是：
有限位小数0.16…6（后面没有了）*2不等于有限位小数0.3…3（后

    面没有了），并不是证明了1/6*2, 不等于1/3！

因为：

1/6应只是0.16…16（后面还有无穷位16），趋近于而非等于，

1/3应只是0.3…3（后面还有无穷位3），

所以：

 0.16…16（还有无穷位16）*2只是趋近于而非等于0.3…3（后面还有无穷位3）！

于是: 

0.16…16（后面没有了）*2当然就不等于0.3…3（后面没有了）！

但是，1/6*2却是等于1/3的！

这也正表明：

不能把“趋近于”混同为：通常严格意义的“等于”！

不能把“分数”混同为：通常严格意义的“等于”循环小数！

在此“分数”和“循环小数”的定义都是确切无疑的，严格的，只是

必须弄清：  “循环小数”只是趋近于而非通常严格意义的“等于”相应的“分数”！

乙：二傻还提出：

    “等号”是一种"定义"或"赋值"!

在数学中,我们习惯地以为等号意味着两边的东东是一模一样的!

如"A=B"，就意味着A和B是一模一样的...可以随便代换的.！

学过计算机程序的人都知道"赋值"的这个意思！

甲：但是,对于这里所说的那个”鬼”，循环小数与相应分数间的等号"="，

就必须注意到:

那个循环是必需无限地进行下去的！

这就是它有趋近于的意义！ 否则，就不能相等!

因而，这个等号"="，

就确实应与不循环的小数与相应分数间的等号"="有区别！

这两者虽然用同一个符号"="来表示，就还必须弄清它们的区别！

也只有区分这两种等号"="，才不致被所感到的”鬼”纠缠不清!

还应了解：若要将1/3"定义"或"赋值"为：=0.333…，就必须无穷多个3，否则，就只能是“近似于”，而不是趋近于，更不是“等于”！

学过计算机程序的人，更会知道这几种定义"或"赋值"的差别！  

乙：这确实能够说明：区分清楚无限循环小数与其它小数的原则差别的重要了！

 

（未完待续）

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