分析祖冲之得出精确的圆周率显示中国古代一些数学卓越成就

1. 祖冲之如何精确、全面地得出圆周率现已无从具体查考

    圆周率，π，是数学及物理学中重要的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比值。

我国南北朝时代(约5世纪下半叶)著名数学家祖冲之计算得出精确到小数点后7位的π值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。

其中，密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，当时，欧洲不知祖冲之早已给出密率，而错误地将密率称为安托尼斯率。

直到15世纪初阿拉伯数学家卡西，求得圆周率17位精确小数值，才打破祖冲之保持超千年的纪录。

他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。

祖冲之在南北朝时代(约5世纪下半叶)，究竟用什么方法能够如此先进地计算得出那么精确、全面，保持近千年领先纪录，的圆周率？

现在已无从具体查考。

在“百度”，有人设想：如果他按刘徽的“割圆术”方法，就要计算到圆内接16000多边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！

还有人认为极大可能是：采用12次割圆，利用内接圆和外切圆双向逼近圆的周长。总共需要做14次开平方，开方精度最少要到小数点后14位，将圆周率确定在3.1415926 ～ 3.1415927之间，筹算（用小棍子计算）的时间约为1～2天，工作量远没有人们想象的那么大。

也都没有给出实际结果。

2. 根据我国古代数学家当时已有的有关知识具体分析

    其实，可以根据我国古代数学家当时已有的有关知识，做出如下具体分析：

    《墨经》中记载: “圆，一中同长也。”，其中的“一中”指的是圆心， “同长”指的是圆上任意一点到圆心的距离相等，都等于半径, 已确切的定义了“圆”的基本特性。

     “圆上任意一点到圆心的距离相等，都等于半径”应是计算圆周率的重要依据。

在祖冲之之前，中国数学家刘徽已提出了计算圆周率的科学方法：“割圆术”，即：用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，用这种方法，刘徽已计算圆周率，到小数点后4位数。

任何多边形都可分解为相应的多个3角形，利用3角形的各种特性，就成为计算圆内接、外接，正多边形，逼近圆周长，的有效方法。

西周初年，商高，就提出了直角三角形的3个边的勾股弦定理："勾三股四弦五"，即：称短的直角边为勾，长的直角边为股，斜边为弦，勾（=3）的平方（=9）+股（=4）的平方（=16）=弦（=5）的平方（=25）。

这实际上，就容易推论得出任意直角三角形：勾的平方+股的平方=弦的平方。

又有，勾=3股=4弦=5直角三角形的内切圆直径=2，的"勾3股4弦5径2"，可见，当时，已经把3角形3个边的关系，联系到圆的直径了。

如此，就可由直角3角形的勾的平方+股的平方=弦的平方，计算得到：

如图1，取：

a(2^j)为正2^j边形边长、

r为各正2^j边形内切圆共有的半径、

r(2^j)为各正2^j边形内切圆各自的半径，

j=2,3,… … …,n，

图1 各r(j)与相关弧弦长度相互关联简图  

 由图1可见：

按勾、股、弦定律，

由外切圆直径，A*B =2r，与彼此正交的2个 “内接正4边形边长” ，A*C=BC=a(4)；得到：

a(4)^2 =(2r)^2-a(4)^2，

或2个彼此正交的外切圆半径， AB=AC =r，与1个“内接正4边形边长” ，BC=a(4)，组成的直角3角形，得到：

(a(4)/2)^2 =(a(4)/2)^2-r^2，

即都是：

a(4)^2=2r^2，a(4)=2^(1/2)r=1,414213562r。

    “内接正4边形”全部边长=4x2^(1/2)r=2^(2+1/2)r=5.656854249r。

    “内接正4边形”内切圆的半径，AD=r(4)= a(4)/2，即：

r(4)= a(4)/2=r/2^(1/2)=0.707106781r，

由3角函数公式，和有关的定律，可确定“正多边形边长”与相应的各内切圆、外切圆半径，外切圆弧弦长度，各比值的相互规律，

例如：

由弧弦长度BC*，与外切圆的2个半径，AB=AC*=r，组成的3角形ABC* 的与BC*相对的夹角，A，就不是直角， 但由B向AC*（或C*向AB），引垂线，交于E，就容易按勾、股、弦定律，推导得到：

AC* =AB=r， AE=AC*-EC*=r-EC* ,

EC*^2= BC*^2- BE^2= BC*^2- (r^2-AE^2)

AE= r-BC*^2/(2r) =r-(BC*^2- r^2+AE^2)^(1/2)，

(AE- r)^2 =BC*^2- r^2+AE^2

=AE^2-2rAE+r^2，有：

BC*^2=2 r^2-2r乘AE，AE=r-BC*^2/(2r)，

A角余弦=AE/r，

这实际上是由ABC*3角形的(A角余弦) =AE/AC*，而导出：

BC*^2=2r^2-2r^2(A角余弦)。

对于一般的ABC 3角形，AB=c,BC=a,CA=b,即有余弦定律：

a^2=b^2+c^2-2bc(A角余弦)。

由此看来，实际上，所有的3角函数公式，祖冲之，这样的数学家，当时，当然，都会类似地推导得到。

因此，由以上推导，可以证明：在祖冲之那个年代，我国的数学家，实际上，就已经全面掌握了所有的3角函数公式，和有关的定律。

    由3角形DBC*，DB=a(4)/2，外切圆弧弦长度BC*，(角C*)=直角，有：

DC*^2=BC*^2-DB^2=( a(4)/2)^2-BC*^2，（勾^2=弦^2-股*^2）

A*角余弦= A*C*/ A*B= A*C*/(2r)，  DC*= A*C*-A*D，

由3角形A*DB，DB=a(4)/2，A*B=2r，按余弦定律，有：

DB^2=A*D^2+ A*B^2 -2A*D乘A*B乘A*角余弦，即：

(a(4)/2)^2=A*D^2+(2r)^2 -2A*D A*C*

  =A*D^2+(2r)^2 -2A*D乘(DC*+A*D)

  =A*D^2+(2r)^2-2A*D乘(((a(4)/2)^2-BC*^2)^(1/2)+A*D)，即：

A*D^2+(2r)^2+a(4)^2/4 =-2A*D乘((a(4)/2)^2+BC*^2)^(1/2)，即：

(A*D^2+4r^2+a(4)^2/4)^2 =4((a(4)/2)^2+BC*^2)A*D^2，即：

A*D^4+(8r^2-a(4)^2-4BC*^2)A*D^2

+16r^4+2r^2a(4)^2+a(4)^4/16=0，解得：

A*D^2=-(4r^2-a(4)^2/2-2BC*^2)

        +,-((4r^2-a(4)^2/2-2BC*^2)^2

-16r^4-2r^2a(4)^2-a(4)^4/16)^(1/2)

=-(4r^2-a(4)^2/2-2BC*^2)

        +,-(-r^2(6a(4)^2+16BC*^2)

+3a(4)^4/16+4BC*^4)^(1/2)，

    又有：

A*D =A*C*-DC*=((2r)^2-a(8)^2)^(1/2)-((a(4)/2)^2-BC*^2)^(1/2)，

(A*D+((a(4)/2)^2-BC*^2)^(1/2))^2=(2r)^2-BC*^2，

A*D^2+(a(4)/2)^2-(2r)^2=-2A*D((a(4)/2)^2-BC*^2)^(1/2)，

(A*D^2+(a(4)/2)^2-(2r)^2)^2=(a(4)^2-4BC*^2)A*D^2，

A*D^4+(a(4)/2)^4+(2r)^4+(2(a(4)/2)^2-2(2r)^2) A*D^2

 -2(2r)^2(a(4)/2)^2=(a(4)^2-4BC*^2)A*D^2，

A*D^4+(-8r^2-a(4)^2/2+4BC*^2)A*D^2

+a(4)^4/16-2r^2a(4)^2+16r^4=0，解得：

A*D^2=(4r^2+a(4)^2/4-2BC*^2)

        +,-((4r^2+a(4)^2/4-2BC*^2)^2

- a(4)^4/16+2r^2a(4)^2-16r^4)^(1/2)

=(4r^2+a(4)^2/4-2BC*^2)

        +,-2(BC*^4-(4r^2+a(4)^2/4)BC*^2+r^2a(4)^2)^(1/2)， 

    以上2式是完全一致的。

这些结果已足以供祖冲之创新得出他那与圆有关卓越的重要数学成果。

运用这些结果，由各正多边形，从其各边长，a(2^j)，j=2,3，…,到n，与相应各内切圆半径r(2^j)，j=2,3，…,到n、外切圆半径，r，各比值的变化规律，如图2，就都可以得到。

     图2：r、r(j) 、a(j)，j=2^kk=2,3,…,n，关系

例如：“内接正4边形”的边长，a(4)，“内接正8边形”的边长，a(8)，及其外切圆的半径，r，和2个内切圆的半径，r(4)、r(8)，的比值，可如下求得：

由3角形ADB，AD=r(4)=a(4)/2，角D是直角，DB=a(4)/2，AB=r，有：

AD^2+DB^2=AB^2，（勾^2+股*^2=弦^2）即：r^2=r(4)^2+(a(4)/2)^2=2(a(4)/2)^2=a(4)^2/2，      (1)

由3角形C*DB，C*D=r-r(4)，角D是直角，DB=a(4)/2，C*B=a(8)， 

DB^2=C*B^2-C*D^2，（勾^2=弦^2-股*^2）即：

(a(4)/2)^2=a(8)^2-(r-r(4))^2，                        (2)

由3角形AD*B，AD*= r(8)，角D*是直角，D*B=a(8)/2，AB=r，有：

D*B^2=AB^2-AD*^2，（勾^2=弦^2-股*^2）即：

(a(8)/2)^2=r^2-r(8)^2，                              (3)

联立此(1)、(2)，消去r(4)，即：

a(8)^2=(a(4)/2)^2+(r-(r^2-(a(4)/2)^2)^(1/2))^2，

由图2，与此类似地，得到：

a(2^(j+1))^2=(a(2^j)/2)^2+(r-(r^2-(a(2^j)/2)^2)^(1/2))^2，j=2,3,…,n，

    由图1已知：

a(4)^2=2r^2，a(4)=2^(1/2)r=1,414213562r。即逐次得到：

a(8)^2=(a(4)/2)^2+(r-(r^2-(a(4)/2)^2)^(1/2))^2

      =(a(4)/2)^2+r^2+r^2-(a(4)/2)^2-2r(r^2-(a(4)/2)^2)^(1/2))

=2r^2-2r(r^2-(a(4)/2)^2)^(1/2))

=2r^2-2r(a(4)^2/2-a(4)^2/4)^(1/2))

=2r^2-2r(a(4)^2/4)^(1/2)

=2r^2-ra(4)

=(2-2^(1/2))r^2,

a(8)=(2-2^(1/2))^(1/2)r令为A(2)r,

a(16)^2=a(8)^2/4+(r-(r^2-a(8)^2/4)^(1/2))^2

=2r^2-2r(r^2-a(8)^2/4)^(1/2)

=2r^2-2r(r^2-(2-2^(1/2))r^2/4)^(1/2)

=2(1-(1-(2-2^(1/2))/4)^(1/2))r^2

=(2-(2+2^(1/2))^(1/2))r^2

a(16)=(2-(2+2^(1/2))^(1/2))^(1/2)r令为A(23)r，

a(32)^2=a(16)^2/4+(r-(r^2-a(16)^2/4)^(1/2))^2

=2r^2-2r(r^2-a(16)^2/4)^(1/2)

=2r^2-2r^2(1-(2-(2+2^(1/2))^(1/2))/4)^(1/2)

=(2-(2+(2+2^(1/2))^(1/2))^(1/2))r^2，

a(32)=(2-(2+(2+2^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2)r令为A(4)r，

a(64)^2=a(32)^2/4+(r-(r^2-a(32)^2/4)^(1/2))^2

 =2r^2-2r(r^2-a(32)^2/4)^(1/2)

 =(2-(2+(2+(2+2^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))r^2，

a(64)=(2-(2+(2+(2+2^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2)r令为A(5)r，

，…，

圆周率，π，就是2^(j)A(j); j趋于无穷大，这也给出了一个圆周率，π，的表达式。

3. 利用推导得到的公式以10位有效数字开始计算

    直到得到j足够大的“内接正2^(j+1)边形”全部边长/(2r)：

2^(j)a(2^(j+1))=2^(j)A(j)的有效数字达到要求，就得到祖冲之，等等，我国古代数学家所给出的精确度的圆周率。

j 2^(j) (2+A(j-1))^,5   A(j)=(2-(2+A(j-1)))^,5    2^(j)A(j)   

2  4    1,414213562    0,765366865       3,0614674

3  8    1,847759065    0,390180644       3,121445152

4  16   1,961570561    0,19603428        3,136548483

5  32   1,990369453    0,09813535        3,140331213

6  64   1,997590912     0,049082461      3,141277519

7  128  1,999397637     0,024543085      3,141514825

8  256  1,999849404     0,012271756      3,141569585

9  512  1,999962351     0,006135878      3,141569585

已看到：由于开方使有效数字的减少，计算所采用的有效数字已不够用！

10 1024 1,999990588     0,003067898       3,141527863

11 2048 1,999997647     0,001533949       3,141527863

12 4096 1,999999412     0,000766812       3,140860234

13 8192 1,999999853     0,000383406       3,140860234

   但至此，仍能保持3位有效数字。

中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时，用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈约为3.14;用正3072边形得到π≈约为5位精度的3.1415。

都与上述计算结果相符。

4. 由多边形、多边体到圆、球，就已从直线坐标发展到了曲线坐标

由前面的具体分析，已知：我国古代数学家，例如：商高、刘徽、祖冲之，等等，就已经，从对“勾、股、弦，定律”的实际运用，实际上，已对所有的3角函数公式，等的3维直线坐标问题，全面掌握、运用了。

对圆周率的计算，已能解决1维曲线坐标的极限积分的问题，又能计算得出圆的面积，祖冲之父子对于球体积的研究，还得出球的体积，就表明：我国古代数学家，对“形”的研究已发展到了3维曲线坐标的实际运用。

已能解决经典物理学的所有几何学问题。

   这就足以启示我们，应充分重视：对我国古代科学家的各种重大贡献，发掘、整理、宣传、运用，发扬光大！