创建时空多线矢“相宇”统计力学(C)

  （接B）

8.  创建多类同种粒子的时空n维多线矢“相宇”统计

   对各类时空多线矢微观特性的研讨，需创建时空多线矢“相宇”的统计力学。

首先仅考虑对于大量只有一种，同种粒子的统计。

   定义第i个粒子的时空n维多线矢相宇微元为：

[相宇微元w(i)(Xn)]=[微元矢A(i)(Xn)]点乘[微元矢B(i)(Xn)]

 = [相宇微元w(i)(Xn),(x)从(x)1到(x)n求积]

 =[微元矢A(i)(Xn)(x)微元矢B(i)(Xn)(x), (x)从(x)1到(x)n求和],

其中[相宇微元w(i)(Xn)(x)] =[微元矢A(i)(Xn)(x)微元B(i)(Xn)(x)]分别表达第i个粒子在时空n维多线矢相宇微元中的运动状态。

   设共有N类同种(只有一种)粒子，其4维时空n维多线矢相宇微元的总和为：

[相宇微元总和] = [相宇微元w(i)(Xn),(x)从(x)1到(x)n求积,i从1到N求和]

=[微元矢A(i)(Xn)(x)微元B(i)(Xn)(x), (x)从(x)1到(x)n求和,i从1到N求和],

又设在某一运动状态下，这N类同种粒子的运动状态在时空n维多线矢“相宇”的分布状况是{分布a(N,l)}={ a(N,i)；i=1, 2,…, l};，即有一组a(N,l)，其中a(N,l)个粒子都具有相等的时空“相宇”微元，[相宇微元w(l)(Xn)]，由于共有N类粒子，且N不随其分布情况{分布a(N,l)}改变，其时空“相宇”的总和为[相宇微元总和]，而有：

{分布a(N,l),对l求和}=N，[相宇微元总和]= [相宇微元(w(l)(Xn))^a(N,l),对l求积]，可将分布状况是{分布a(N,l)}的这N类同种粒子运动状态的总和标志为：

[矢A(i)(Xn)] 点乘[矢B(i)(Xn)]

=[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x), (x)从(x)1到(x)n求和,i从1到N求和]

=[矢A(l)(Xn)(x)矢B(l)(Xn)(x) a(N,l), (x)从(x)1到(x)n求和,对各l求和],

N类各有不同运动状态的同种粒子，彼此交换位置的排列数为：N!。

按分布{分布a(N,l)}的N类同种粒子，由于相同运动状态的粒子彼此交换位置，不增加排列数，其中N类各不同运动状态的同种粒子，彼此交换位置的排列数为：[a(N,i),i=1,2,…,l]!

分布状况是{分布a(N,l)}的N类同种粒子的几率，和所占时空n维多线矢“相宇”微元的几率，可分别表达为：

W=N!/[a(N,i),i从1到l求积]!，  

W[相宇微元总和]

= N! [相宇微元(w(l)(Xn))^a(N,l),对l求积]/ [a(N,i),i从1到l求积]!，

当改变{分布a(N,l)}，使得W[相宇微元总和]成为极大时的分布{分布a(N,l)}，称为“最可几分布”。

在粒子类数N，及其运动状态的总和[矢A(XN)] 点乘[矢B(XN)]保持不变的条件下，求“最可几分布”就还须在满足：

变分N =变分{分布a(N,l),对l求和}=0；

变分[矢A(XN)] 点乘[矢B(XN)]

=变分[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x), (x)从(x)1到(x)n求和,i从1到N求和]

=变分[矢A(l)(Xn)(x)矢B(l)(Xn)(x) a(N,l), (x)从(x)1到(x)n求和,对各l求和] =0, 的条件下，求得变分(W[相宇微元总和])=0, 或变分ln(W[相宇微元总和])=0，

时的分布{分布a(N,l)}。

当N及各a(N,l)都不大时，由相应各具体数据，容易对比确定相应的“最可几分布”。

当N很大时，可利用Stirling公式：m!=m^m exp(-m)(2派m)^(1/2), 取对数，且当m很大时，略去<<m的ln m项，得：ln (m!)~m(ln m-1), 即得：

lnW=N(ln N-1)- {分布a(N,l),对l求和}

(lna(N,l)-1)= Nln N-{分布a(N,l),对l求和}ln a(N,l),

变分ln(W[相宇微元总和])=-{ln分布a(N,l),对l求和}

(a(N,l)/[相宇微元(w(l)(Xn)))变分a(N,l)=0,

为反映上述粒子类数N，及其运动状态的总和[矢A(Xn)] 点乘[矢B(Xn)]的两个不变条件，还须由此式减去其变分量分别与Lagrange待定乘子a,b的乘积，即：变分ln(W )-a变分N-b变分([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)])

=-(lna(N,l)/[相宇微元(w(l)(Xn))+a+b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和,i从1到N求和],对l求和)变分a(N,l)=0。

由Lagrange乘子的性质,即得：

lna(N,l)/[相宇微元(w(l)(Xn))+a+b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和], i=1到N求和=0,

a(N,l)=exp(-a-b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和] , i=1到N求和)

[相宇微元(w(l)(Xn))],

其中常数a,b可如下确定：

N=(exp(-a-b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和] , i=1到N求和)

[相宇微元(w(l)(Xn))],i从1到N求和),

([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)])=([矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和] exp(-a -b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和])[相宇微元(w(l)(Xn))],i从1到N求和)，

并定义相应条件的“配分函数”：

Z=(exp(-b[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x),(x)从(x)1到(x)n求和])[相宇微元(w(l)(Xn)), i从1到N求和]),

由此解得：a=ln(Z/N)，[矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)]=-N(lnZ对b的偏微商)。

当取b=-i2派/h;h是Plank常数，p(0)=exp(-a),则有：

P(l)=a(l)/[相宇微元(w(l)(Xn))]，

它是在粒子类数N，及其运动状态的总和([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)])保持不变的条件下，单位时空n维多线矢“相宇”微元[相宇微元(w(l)(Xn))]中“最可几分布”具有的a(l)。

亦即；其运动状态由[矢A(i)(Xn)(x)矢B(i)(Xn)(x), (x)从(x)1到(x)n求和] , i=1到N求和，表达的“最可几匹配对子数”。

可见在粒子类数N，及其运动状态([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)])保持不变的条件下，其运动状态由([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)])表达的“最可几匹配对子数”可表达为：

p=exp(lnP(l)对l求和) = p(0)exp(i([矢A(Xn)]点乘[矢B(Xn)] , i=1到N求和) 2派/h)，

当其中的[矢A(Xn)],[矢B(Xn)]分别以任何(包括受到各种力)的匹配对子的4维时空运动状态n维多线矢代入，都同样适用。

而此式，正是推广用于大量相互匹配成对的自由n维多线矢的波函数。

显然，它们也都只是大量匹配成对的任何由n维多线矢在相应的“相宇”中统计得到的一种“最可几分布函数”，并不表达单个匹配对子的行为。

由大量匹配成对的各类n维多线矢在相应的“相宇”中统计得到的一种“最可几分布函数”都各不相同。

都可分别表达为相应各类n维多线矢的最可几分布。

例如：各分子各向运动的热能就可由各分子的动能，乘相应的最可几分布函数，求和而得到。

设N个粒子是由j类n(j)个同种粒子的运动状态在时空n维多线矢“相宇” [相宇微元(w(l,i)(Xn))]分布为{a(n,l,i)}，

各j总和为[相宇微元总和j] =[相宇微元(w(l,i)(Xn)) a(n,l,i),对l求积]，而有：

{a(n,l,i)对j,l求和}={a(n,l)对l求和}=N，[相宇微元总和] =[相宇微元总和j ,对j求和] =[相宇微元(w(l,i)(Xn)) a(n,l,i),对l求积, 对j求和]，

运动状态的总和[矢A(Xn)] 点乘[矢B(Xn)]= [矢Aj(Xn),对j求和] 点乘[矢Bj(Xn),对j求和]，

其运动状态由[矢A(Xn)] 点乘[矢B(Xn)]表达的“最可几匹配对子数”可表达为：

p=exp(lnp(l)对l求和) =p(0)exp(i[矢A(Xn)] 点乘[矢B(Xn)] , i=1到N求和2派/h)

=p(0)exp(i[矢Aj(Xn),对j求和] 点乘[矢Bj(Xn),对j求和]2派/h)，

多类同种粒子各物理量的统计，也并非各同种粒子各相应物理量统计的简单叠加。

多类同种粒子的各最可几分布函数必然相互关联，因而，多类同种粒子在时空中出现的几率必然会有相应的“量子纠缠”。

这也正是大量多种粒子的统计特性。不能误解为各单个粒子彼此约定的行为。

   （未完待续）