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4维时空可变系多线矢的建立
为了具体反映非惯性(各牵引运动系之间存在相互作用力)牵引运动系的时空弯曲特性,并能表达相应的矢量和进行矢算,本理论体系创建了4维时空1线矢可变基矢系,并按相应的矢算,导出各种多线矢可变基矢系。
1. 创建可变基矢系
首先,选定参考系原点A处,1线矢的不变基矢系,[不变基矢系A]。于是,在该参考(包括非惯性牵引运动)系内其它任何一点X处的可变1线基矢系,
[可变基矢系X] =[矩阵C(XA)] [不变基矢系A]; 并有:
[不变基矢系A]= [矩阵C(AX)] [可变基矢系X], 即:
[基矢X(x)]=[C(XA(xa)) [基矢A(a)],a=0到3], x=0,1,2,3;
[基矢A(a)]=[C(AX (ax)) [基矢X(x)],x=0到3], a=0,1,2,3,
C(XA(xa))、C(AX (ax))分别是1线矢矩阵[矩阵C(XA)]、[矩阵C(AX)]的各相应正交归一矩阵元,它们都是两参考系间牵引位置1-线矢各方向余弦的函数。并有:
[C(XA(xa)) C(AX (ax’)),a=0到3求和]=1(x=x’); =0(x x’)。
[矩阵C(XA)],[矩阵C(AX)]互为转置逆矩阵,具体表达[可变基矢系X]与[不变基矢系A]间的偏转情况。
2.时空可变系推广到任意n维的多线矢
[可变基矢系(X)] =[矩阵C((X)(A))] [不变基矢系(A)]; 并有:
[不变基矢系(A)]= [矩阵C((A)(X))] [可变基矢系(X)], 即:
[基矢(X)((x))]=[C((X)(A)((x)(a)))[基矢(A)((a))],(a)=(a)1到(a)n], (x)=(x)1到(x)n;
[基矢(A)((a))]=[C((A)(X)((a)(x))) [基矢(X)((x))], (x)=(x)1到(x)n], (a)=(a)1到(a)n,
C((X)(A)((x)(a))), C((A)(X) ((a)(x)))分别是n维多线矢矩阵[矩阵C((X)(A))],[矩阵C((A)(X))]的各相应矩阵元,它们都是两参考系间的偏转情况。并有:
[C((X)(A)((x)(a))) C((A)(X) ((a)(x’))), (a)=(a)1到(a)n求和]=1((x)=(x’));
=0((x)不=(x’))。
[矩阵C(XA)],[矩阵C(AX)]互为转置逆矩阵,具体表达[可变基矢系X]、[不变基矢系A]间的偏转情况。
[矢(A)((X))] =[(A)((X),(x))[[基矢(X)((x))], (x)=(x)1到(x)n求和]
=[矢(A)((A))]=[(A)((A),(a))[[基矢(A)((a))], (a)=(a)1到(a)n求和],
(A)((X),(x))=[C((X)(A),(x)(a))(A)((A),(a)), (a)=(a)1到(a)n求和], (x)=(x)1到(x)n,
(A)((A),(a))=[C((A)(X),(( a)(x))(A)((X),(x)), (x)=(x)1到(x)n求和], (a)=(a)1到(a)n,
3.[不变基矢系A]、[可变基矢系B]的有关4维时空1线矢
[牵引位置1-线矢r(XA)] =[r(XA,a)[基矢A(a) ],a=0到3求和,
其模长:
r(XA)=[r(XA,a)^2, a=0到3求和] ^(1/2),r(XA,0)=ict(A),
所在介质中的光速:c=c0n光,c0=真空中的光速,n光=所在介质的折射率。
[可牵引位置1-线矢r(XA)]方向余弦各分量为:r(XA,a)/ r(XA), a=0, 1, 2,3,
[可变系任意矢A(X,x)] =[A(X,x)[[基矢X(x)],x=0到3求和],
可变系和不变系,任意矢模长有如下关系:
A(X,x)=[C(XA,xa)A(A,a), a=0到3求和], x=0,1,2,3,
A(A,a)=[C(AX, ax)A(X,x), x=0到3求和], a=0,1,2,3,
可变系位置1-线矢[矢r(X)] =[r(X,x)[[基矢X(x)],x=0到3求和]
r(X,x)=[C(XA,xa)r(A,a), a=0到3求和], x=0,1,2,3,
r(A,a)=[C(AX, ax)r(X,x), x=0到3求和], a=0,1,2,3,
r(X,0)= i ct(X), r(A,0) = i ct(A) , i=(-1)^(1/2),
4.4维时空1线矢的微分、时间导数、偏微分 (注意不变系与可变系的区别!)
各不变多线基矢[基矢(A)((a))]的微分、时间导数、偏微分均=0。
对于可变基矢系:
1线基矢:
d[基矢X(x)] =[dC(XA,xa) [基矢A(a)],a=0到3求和]
=[dl(A,a’)(偏分l(A,a’)C(XA,xa))[基矢A(a’)],a,a’=0到3求和]
=-[dl(A,a’)w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], a’,x’=0到3求和] x=0,1,2,3,
w(Ax’,xa’)=[(偏分l(A,a’)C(XA,xa))C(AX, ax’) a=0到3求和],是时空联络系数(Riemann-Christoffel符号)因而,具体表达了弯曲时空的基本特性。并有:
[(dC(XA,xa))C(AX, ax’) + C(XA,xa)(d C(AX, ax’)) a=0到3求和] =0。
(偏分l(A,a’)[基矢X(x)])=[ w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], x’=0到3求和], x=0,1,2,3, w(Ax’,xa’)=- w(Ax,x’a’),
偏分符:
偏分(X)=[偏分/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],
[矢r(X)]的偏分1线矢:
偏分[矢r(X)]=[偏分r(X)/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],
微分r(X)1线矢:
d(X)[矢r(X)] = d(X)r(X) [偏分r(X)/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],
微分符:
d(X)=d[r(X)][偏分矢r(X)]
=dr((X)X) [偏分/偏分r(X,x) [基矢X(x)], x=0到3求和],
微分U标量:
d(X)U=[d(X)r(X,)(偏分U/偏分r(X,x), x=0到3求和],
时间导数符:
d(A)/d(A)t(A),
[矢v(A)]=d(A)[矢r(A)]/d(A)t(A)=[(d(A)r(A,a)/d(A)t(A))[基矢A(a)],a=0到3求和],
d(X)/d(X) t(X),
[矢v(X)]= d(X) [矢r(X)]/d(X)t(X)= [(d(X)r(X,x)/d(X)t(X))[基矢X(x)],x=0到3求和],
v(A,a)=r(A,a)时间导数=d(A)r(A,a) /d(A)t(A);a=0,1,2,3,
v(A,0)=r(A,0)时间导数=d(A) r (A,0) /d(A)t(A)=ic(0)n光t (A),
c(0)=真空中光速,n光=所在介质的折射率
v(X,x)=r(X,x)时间导数=d(X)r(X,x)/d(X)t(X)
=(d(A)t(A)/d(X)t(X))[C(A(l(A)时间导数)xa(d(A)r(A,a)/d(A)t(A)),a=0到3求和]; x=0,1,2,3,
5,2线可变基矢的微分、偏微分:
d[基矢X(xy)]= (d[基矢X(x)])[基矢X(y)] + [基矢X(x)]d [基矢X(y)])
=[dl(A,a’)(w(Ax’,xa’)[基矢X(x’y)]
+w(Ay’,ya’)[基矢X(xy’)]),a’,x’,y’=0到3求和]。
d[基矢X(xy)]/dt(X)
=[(dt(A)/dt(X))dl(A,a’)/dt(A)
(w(Ax’,xa’)[基矢X(x’y)]+w(Ay’,ya’)[基矢X(xy’)])
,a’,x’,y’=0到3求和]。
… … …
6.类推导出其它高次、线多线矢的各黎曼时空解析物理量
类似地,可类推导出其它的高次、线多线矢的微分、时间导数、偏微分,和相应各种积分,以及各矢量场的梯度*([偏分矢r(X)] U(X))、散度([偏分矢r(X)]点乘[矢(A(X))])、旋度([偏分矢r(X)]叉乘[矢(A(X))])等等物理量。以及黎曼时空的度规张量、曲率张量等表达式。
本文创建的由变换矩阵,[矩阵C(A(l(A)时间导数)]导出的,是普适于非惯性牵引运动系或Reimann时空的矢量结果。
狭义相对论通常所采用的只是其在惯性牵引运动系或Euclid时空,且运动仅限于在[基矢01] 2-维时空的简化特例。
广义相对论只是放弃矢量,直接用曲线坐标表达粒子的位置,利用黎曼时空“度规张量”的各“元”作为参量,类比由库伦(Coulomb)静电定律转变到马克斯威尔(Maxwell)方程组的变换规律,建立相应的运动方程,而由牛顿(Newton)引力定律转变为爱因斯坦(Einstein)引力场方程。仅限用于引力,且因场方程混入了电磁场产生“波”的特性,而造成流行观点,仍然认为存在“引力波”这种爱因斯坦早就指出,但因,放弃矢量,而未能证明的,“多余东西”。
7.惯性牵引运动系的具体条件(全部dk(A,a)/dt(A)=0; a=1,2,3)
由dk(A,a)/dt(A)=dl(AX,a)/dt(A)/(ct(AX))- l(AX,a)/(c t(AX)^2)=0; 即可具体表明、判定:可变系牵引运动系是惯性的 (平直时空) 或非惯性的 (弯曲时空)。
4维时空平直坐标:
dl(AX,a)/dt(AX)=l(AX,a)/t(AX);
(d^2)l(AX,a)/(dt(AX))^2=dl(AX,a)/dt(AX)/t(AX)-dl(AX,a)/dt(AX)/t(AX)^2=0;a=1,2,3,
即:沿各牵引运动轴均无加速度。
4维时空球面坐标:
dk(A,1)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)c(AX,l1)d角(AX,l0)/dt(AX)
-s(AX,l0)s(AX,l1)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;即:
dk(A,2)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)c(AX,l2)d角(AX,l0)/dt(AX)
+s(AX,l0)c(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)
-s(AX,l0)s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;
dk(A,3)/dt(A)=(1-s(AX,l0)^2/c(AX,l0)^2)s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l0)/dt(AX)
+s(AX,l0)c(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/c(AX,l0)
+s(AX,l0)s(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/c(AX,l0)=0;
d角(AX,la)/dt(AX)=0; a=0,1,2,
即:环绕各牵引运动轴均无转动加速度。
3维空间球面坐标:
dk(A,1)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))c(AX,l1)/(ct(AX))
-l(AX,(3))s(AX,l1)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))=0
dk(A,2)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))s(AX,l1)/(ct(AX))
-l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)/(ct(AX))
+l(AX,(3))c(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))
-l(AX,(3))s(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/(ct(AX))=0; dk(A,3)/dt(A)=(dl(AX,(3))/dt(AX)-l(AX,(3))/t(AX))s(AX,l1)s(AX,l2)/(ct(AX))
-l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)/(ct(AX))
+l(AX,(3))c(AX,l1)s(AX,l2)d角(AX,l1)/dt(AX)/(ct(AX))
+l(AX,(3))s(AX,l1)c(AX,l2)d角(AX,l2)/dt(AX)/(ct(AX))=0; 即
(d^2)l(AX,(3))/(dt(AX))^2=dl(AX,(3))/dt(AX)/t(AX)-l(AX,(3))/t(AX)^2=0;
d角(AX,la)/dt(AX)=0; a=1,2,
即:各牵引运动轴,均无转动加速度。
以上惯性牵引运动的3种具体条件都有:
全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0;x,x’,a=0,1,2,3, 表明:在这些条件下,时空都是Euclid型的;或在Euclid 时空,
即全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0;x,x’,a=0,1,2,3,
则相应的牵引运动也必为惯性的。
3者彼此相当:
惯性牵引运动系,或Euclid 时空,或全部w(l(Ax,x’a)时间导数) =0 ,
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