今天大年初三［2010-2-16］，开车兜风，逆时针旋转约170公里。

 

先从西三旗向北上京昌高速，在昌平转八达岭高速辅路继续北上，到延庆境内在官厅水库南侧的东花园镇南转南行（X515路）。过火烧营、瑞云观、罗庄子、横岭、镇边城、杨村。然后走南雁路（S219），向东北行，新开村、高崖口、流村。右转走昌流路（X017），右转向温南路（S218），再左转到百葛路（S321）至西沙屯桥，右转到G110辅路，回西三旗。

 

一路上见最惹人注意的是一种结小小的海棠果的果树（树上依然有许多果子，吃了几个，味道还好），树干很粗，大者直径过半米。其次是杏树、核桃树。

 

下山途中，为女儿摘了一些好看的油松的松果。松籽早就掉落了，剩下的只是曾经托着松籽的鳞片(scale)。鳞片外显的四边形（有的为三角形或不规则形状）表面植物学上称鳞盾（apophysis）。其鳞盾排列有序，与斐波那契数列有关。此数列不算新鲜，特别是在《达芬奇密码》之后。但植物学中谈此数列的过程，人们未必都清楚，下面介绍一点历史知识。

 

1855－1858年李善兰与传教士合作翻译出版的《植物学》第4卷中讲到了植物叶、果排列的数学。注意，这时候达尔文的《物种起源》还没有出版呢。

 

“叶生于枝俱有法，其法不一。有对生者，如甲（图）。有依螺线者，如乙（图）。对生者，相连二层俱成直角。依螺线者，第六叶必与第一叶同方向。螺线绕枝二周生五叶，其常也。间有绕枝一周生七叶、三周生七叶者。一周生七叶，则七分周之一生一叶，如子（图）。三周生七叶，则七分周之三生一叶， 如丑（图）。此外，有一周生二叶者，有一周生三叶者，山查［楂］之类。有二周生五叶者，蘋婆之类。有三周生八叶者，实［十］大功劳之类。有五周生十三叶者，有八周生二十一叶者，有十三周生三十四叶者，有二十一周生五十五叶者。其次序有级数，列表明之：

 

表中母子之级数皆并前二数，得后一数。如并二三得五，并三五得八，并五八得十三，此母之级也。又如并一一得二，并一二得三，并二三得五，此子之级也。”(4:4a)

 

母之级：2,3,5,8,13,21,34,55

子之级：1,1,2,3,5,8,13,21［注：这里转化为阿拉伯数字］

 

其中，X(n+2）= X(n+1)+ X(n), X(1)=X(2)=1. [注：现在补充]

 

“松非一种，松卵螺线之数，视种可异，或一、或二、或三、或五、或八、或十三、或二十一、或三十四，理与叶同。若左旋五，则右旋或三或八；左旋八，则右旋或五或十三。余可类推。”（4：4b）

 

对于我今天采集的油松松果，鳞盾呈扁菱形，鳞盾之间的排列可近似地看作有两组4条螺旋线（其中俩俩近似平行）将它们彼此分开。螺旋线的旋转方向以“从中心向外运动”进行界义如下：将松果翻过来，蒂朝上，鳞盾之间的线［缝隙］逆时针旋转者，定义为右旋，顺时针旋转者，定义为左旋。根据这样的约定，油松的松果左旋8，右旋13。两者都是斐波那契数列中的数字。查对多个松果，皆如此。

 

等有机会，再核对一下其他种类松果的鳞盾排列情况。

补充1：初五，特意开车到北大三院和临湖轩拾了几个白皮松的松果。核对的结果是，左旋5，右旋8。这样，对于油松和白皮松两个物种，不看树皮和松针，只瞧松果，两者立即可以鉴定出来。

补充2：初六（2010.02.19），到中国科学院香山植物园核对一些裸子植物，结果如下：

华山松（Pinus armandi），左5，右8

长白松（Pinus sylvestris var. sylvestriformis ），也叫美人松。左8，右13；同时存在左13，右8。

萌芽松（Pinus echinata），原产北美，南京、富阳、闽侯有栽培。左8，右13。

西黄松（Pinus ponderosa），原产北美。辽宁、江苏、河南、江西有栽培。左8，右13。

短叶松（Pinus banksiana），原产北美。左5，右8。

乔松（Pinus griffithii），左5，右8。

云杉（Picea asperata），左5，右8。

青杄（Picea wilsonii），左8，右5。

所有数字都是黄金数。