人们对非线性问题的认识至少可以上溯到1673年C. Huygens对摆的研究，他观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象。1687年I. Newton发表的运动定律表明动力学问题本质上是非线性的。但直到本世纪30年代才有非线性力学这一名称，内容是经典的非线性振动理论。而非线性动力学这个名称在70年代中后期才逐渐使用，以概括对混沌、分岔和分形问题的研究^[1]。混沌的历史已有大量研究^[2,3]，但分岔的历史发展较少涉及。本文拟概述非线性动力学的历史发展，依据史料除个别原始文献外，主要取自部分重要论文的结集和专著^[4-9]。

1  Poincare的奠基性工作和对非线性现象的早期认识

        上世纪末H. Poincare的工作为非线性动力学的发展奠定了基础。Poincare开创了动力学问题研究的一个全新方向：定性理论。在1881年至1886年的一系列论文中，他讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数。在此之前的1879年，他建立了分岔研究中其重要作用的范式理论的雏形。1885年他研究了分岔问题。1890年他证明了不可积系统的存在。1892年他论证了摄动法的合理性，为促进了非线性系统近似解析方法的研究。1894年他发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动现象。1905年他明确地阐明了对初值敏感依赖而导致的不可预测性。

        本世纪20年代以来非线性振动的研究使得^[10]对非线性系统与线性系统的本质差别已有所认识。1918年G. Duffing和1926年van der Pol对典型非线性振动系统的研究揭示了次谐振动、自激振动等非系统系统的特性。1929年А．А．Андронов 将Poincare的极限环概念与自激振动建立了联系，他随后对平面动态系统的定性特征进行了全面的研究。在20,30年代，Н．М．Крылов,Н．Н．Боголюбов和Ю．А．Митропольский 等发展了非线性系统近似解析方法。

2  混沌的研究

        对混沌现象的广泛研究促使非线性动力学迅速发展。就不可预测性的物理概念而言，1955年M. Born和1964年L. Brillouin分别阐发Poincare的思想而指出经典动力学系统中存在产生于不稳定性的不确定性。就非周期性的数学描述而言，1921年H. M. Morse引进了符号动力学方法，1963年S. Smale构造了马蹄映射。近可积保守系统的非周期性运动产生机制由А. Н. Колмогоров 在1954年所揭示，他的结论后来由В .И .Арнольд和J. Moser严格证明而称为KAM定理。计算机的发展为混沌研究提供新的手段。一系列重要的数值结果验证了混沌的存在，包括1963年E. N. Lorenz的简化热对流模型、1964年M. Henon和C. Heiles的2自由度保守系统模型、1973年上田和林千博的受迫非线性振动模型以及1976年M. Henon的存在奇怪吸引子的2维映射模型。奇怪吸引子的概念是1971年D. Ruelle和F. Takens提出的。1975年李天岩和J. A. Yorke尝试对区间映射给出混沌的数学定义。1976年R. M. May对1维映射中复杂动力学行为的研究使得混沌受到普遍关注。70年代后期，混沌与分岔和分形相交融，使得非线性动力学的研究工作更加深入和广泛。

3  分岔的研究

        本世纪70年代原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学主流之中。分岔现象的发现可以上溯到1729年P. Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，1744年L. Euler从挠曲线角度进行了理论分析。固体力学中将这类分岔称为屈曲。1877年Lord Rayliegh开始发展分岔的数学理论，并在1883年利用系统参数的分岔成功地解释了1831年Faraday和1868年Matthiessen关于振动流体实验的不同结果。1883年O. Reynolds发现在临界数时层流转变为湍流的现象，这种运动分岔在流体力学中称为转捩。1885年Poincare的工作标志分岔理论的创立。1938年Андронов 和Л．С．Понтрягин 建立了分岔和动态系统结构稳定性的关系。作为数学分支，分岔理论在60年代已基本形成。1972年R. Thom宣传的突变理论曾使得分岔理论中的奇异性方法受到广泛注意。1971年Rulle和Takens提出环面分岔进入混沌，到1982年这种进入混沌的途径基本清楚。1978年F. J. Feigenbaum发现了倍周期分岔进入混沌途径的普适规律。1980年Y. Pomeou和P. Manneville发现了伴随鞍结分岔的阵发性进入混沌的途径。这些工作建立了分岔和混沌的联系。

4  非线性动力学中分形的研究

        本世纪70年代开创的分形几何对非线性动力学的深入和普及都起了重要作用。1880年Poincare和F. Klein关于自反演的工作已涉及分形的若干方面。1875年G. Cantor构造的集合(事实上，由Smith于1875年首先发明)和1904年H. Von Koch设计的曲线是分形的典型例子。1918年F. Hausdorff定义了维数，它不必局限为整数。本世纪20年代，P.Fatou和G. Julia Fatou和Julia在复变映射的研究中对揭示分形现象作出重要贡献。1975年B. B. Mandelbrot开创了分形几何以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体，80年代以后引起公众对非线性现象尤其是分形的极大热情。80年代初分形被E. Ott , D. Farmer , P. Grassberger , I. Procaccia等众多研究者用以刻划混沌运动在相空间中对应的奇怪吸引子。80年代中、后期，S. W. McDonald , C. Grebogi , E. Ott , J. A. Yorke等用分形描述多吸引子系统吸引盆的边界，并提出了不同于混沌的初值敏感性的终态敏感性概念。分形的概念也在继续发展。多重分形和胖分形概念都应用于动力学。

5 结束语

        从历史发展看，对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的分支学科。随着对非线性动力学研究的深入，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用^[11]。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展，同时也日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。

参考文献

1          陈立群，刘延柱。非线性动力学。上海：上海交通大学出版社，1999

2          Gleick J . 张淑誉译。混沌：开创新科学。上海：上海译文出版社，1990

3          陈立群。科学中混沌概念的演化。自然杂志，14,8(1991) : 619-624

4          Hao Bai-Lin . Chaos II . Singapore : World Scentific , 1989

5          Cvitanovic P . Universality in Chaos , 2nd ed. . Bristol : Adam Hilger , 1989

6          Abraham R , Marsden JE . Foundations of Mechanics . Massachusetts : Benjamin , 1978

7          Kuznetsov YA . Elements of Applied Bifurcation Theory . New York : Springer-Verlag , 1995

8          Mandelbrot BB . 陈守吉，凌复华译。大自然的分形几何。上海：上海远东出版社，1998

9          Hurd AJ . Fractals : Selected Reprints . College Park MD : Amer. Asso. Phys. Teacher , 1989

10      陈立群，刘延柱。振动力学发展历史概述。上海交通大学学报，31 , 7(1997) : 132-136

11      陈立群。非线性问题研究中的数值实验。自然杂志，16,6(1993) : 10-13

发表于《长白学刊》1999年第5期184-185页

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