§0.1  理论力学的内容

力学是描述和预测固体和流体位置和形状随时间变化的科学。位置和形状的变化也被称为机械运动。位置和形状变化是自然界中最普遍的运动形态，包括大至宇宙，小至基本粒子的运动。更复杂的变化形态，如物理、化学乃至生物活动，也包含位置和形状的变化。同时，位置和形状变化也是工程系统中广泛存在的运动形态。对不同类型位置和形状变化的研究产生了不同的力学分支。力学虽然起源于物理学，但它的内容已经远远超过物理学的内容。由于在工程问题中应用的广泛性，力学在工程技术的推动下按自身逻辑演化，成为一门独立的科学。力学属于技术科学的范畴，是许多工程技术的理论基础，又在广泛的应用过程中不断得到发展。不论是历史较长的土木工程、建筑工程、水利工程、机械工程、船舶工程等，还是后起的航空航天工程、核技术工程、生物医学工程等，都愈来愈多地需要力学的支持，而有些就是在力学理论指导下发展起来的。力学同时也是一门基础科学，阐明具有普遍性的规律。力学的目的是解释和预测自然界和工程系统中的物理现象，并以此作为工程应用的基础。

作为一门力学课程，理论力学涉及力学的最普遍和最基本的概念，定律和定理，是其它各门力学分支的共同基础。同时，理论力学也是相关专业后续课程的基础。为建立与力学有关的各种基本概念和理论，理论力学主要研究质点和质点系的位置随时间的变化。质点是只有质量没有体积的几何点。当所研究对象的运动范围远远超过它本身的几何尺度时，其形状对运动的影响极其微小，可以忽略不计。此时该研究对象可以简化为质点。有限或无限个有某种联系质点构成的系统称为质点系。刚体、变形固体、流体等都可以看作质点系。对于那些在运动中变形极小，或虽有变形但不影响其整体运动的系统，可以完全不考虑其变形而认为系统中各个质点间的距离保持不变。这种不变形的质点系称为刚体。由多个刚体组成的系统称为刚体系。理论力学的研究对象包括质点、质点系、刚体和刚体系。

理论力学的特点是要求建立运用理论知识对从实际问题，特别是工程问题中抽象出来的各种力学模型进行分析和计算。所谓力学模型就是对自然界和工程技术中复杂的实际研究对象的合理简化。质点和刚体都是基本的力学模型。对实际物体简化为何种力学模型，取决于问题的性质。例如，分析航天器绕地球运行的轨道运动时，由于航天器的尺寸远远小于轨道半径，可以将航天器简化为质点。相应地，研究小卫星编队飞行时，编队飞行的小卫星可以简化为质点系。但在分析航天器绕质心转动的姿态运动时，需要将航天器简化为刚体。对于带有挠性太阳帆板的航天器，刚体模型仍过于简化，不能正确反映问题的实质，需要引入更复杂的模型。

理论力学的内容由三部分组成：静力学、运动学和动力学。静力学主要分析系统平衡时所受力系应满足的条件，也讨论系统受力分析，以及力系简化的方法。运动学仅从几何角度分析系统的运动，如轨迹、速度和加速度等，而不考虑引起运动的物理原因。动力学分析系统的运动与作用于系统的力系之间的关系。静力学中所涉及的静止和平衡是运动的特殊形态。因此，也可以认为静力学是动力学的一种特殊情形。但由于工程技术的需要，静力学已积累了丰富的内容，成为理论力学相对独立的组成部分。

§0.2  理论力学发展简史

理论力学的早期发展是作为物理学的主要组成部分。公元前四世纪，中国的墨翟便对力和重心的概念作了初步的解释。古希腊的亚里士多德和阿基米德分别在公元前四世纪和公元前三世纪总结了杠杆原理和浮力原理。经过人类对力学认识的不断深化的漫长过程，16世纪后期伽利略正确地认识了惯性和加速度概念，提出了运动相对性原理。开普勒分析了大量天文观测数据而在1609年和1619年提出行星的运动定律。在他们研究成果的基础上，1687年牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中提出了描述宏观物体运动的基本定律，即万有引力定律和运动三定律。人们在实践活动中对牛顿力学基本原理的无数次检验证实，对于速度远远小于光速和系统作用量(动量´位移或能量´时间)远大于普朗克常数的运动物体，牛顿定律具有高度正确性。18世纪以后，随着工业技术的发展，提出大量需要解决的问题，促进了力学的进一步发展。渐渐地，力学得以发展成为一门独立科学。

在动力学发展的同时，静力学也在相对独立地发展。静力学的发展始终与实际工程问题相关。斯梯芬1586年论证了力合成的平行四边形法则，对力的分解、合成与平衡由较系统的认识。伐里农在他1687年出版的《新力学大纲》首先对力矩的概念和运算规则作出科学说明。在该书1725年最后版本中，首先使用了“静力学”一词。伐里农在静力学中的重要工作还有得到了空间任意力系可以简化为主矢和主矩的结论。力系的简化和平衡的系统理论，即静力学理论体系的建立是潘索在1803年出版的《静力学原理》中完成的。书中提出力偶的性质，完善了任意力系简化理论，明确了静力学平衡条件是主矢和主矩为零。

前述静力学的理论体系是以矢量为基本研究工具。静力学问题的研究还可以从能量观点进行，其核心结论是虚功原理。虚功原理的基本思想早在1608年斯梯芬研究滑车平衡时就已萌发。17世纪伽利略研究斜面上重物的平衡时也产生类似的思想。1725年约翰×伯努利提出虚功原理的一般表述，但没有任何证明。1788年拉格朗日首先以滑轮系统的研究为基础给出该原理的物理证明，繁复而不严密。1798年傅立叶给出几何证明，在其中分析了单独的几何约束。1803年潘索采用傅立叶的方法，对若干有实际背景的约束进行了深入的讨论。1806年安培给出了虚功原理的证明，在其中定义了理想约束并说明常见约束均满足该定义。该证明在现在的一些理论力学教材中仍沿用。

就运动学而言，在伽利略提出加速度概念后，1673年惠更斯考虑了点在曲线运动中的加速度。刚体运动学的一般理论是由欧拉建立的。他在1765年出版的《刚体运动理论》中，明确了刚体定点有限转动等价于绕过定点的某一轴的转动，刚体的定点运动可以用三个角度描述。1830年，夏莱证明了刚体一般运动是以刚体上某点为基点的平行移动和相对通过该基点的轴的转动的合成。该结论的平面特例早在四世纪被古罗马的帕普斯所知，他的书中证明了平面图形的位移可以分解为平移和转动。1835年，科里奥里指出在旋转参考系中存在附加加速度，并于1843年给出相关证明。1834年，安培提出“运动学”一词，并建议将运动学作为力学的独立部分。

动力学的发展也是沿矢量和能量两条路径进行。虽然矢量的概念在后来才正式定义，矢量方法的精神开始于在碰撞问题研究中动量概念的引入。1644年，笛卡儿引入了动量概念，虽然他不理解动量的矢量性质。1677年，马略特利用前人的碰撞实验证明了动量守恒定律。1687年，牛顿发表的《自然哲学的数学原理》标志着对单自由质点而言的动力学矢量方法的完成。在18世纪，随着机器生产的迅速发展，要求对构成机械系统的受约束质点系和刚体进行动力学分析。达朗贝尔考虑受约束质点的运动。在1743年出版的《动力学》中，他首先区分了外力和内力而内力可以互相抵消，因此有效力静态地等于外力，该结论被称为达朗贝尔原理。该原理将约束归结为力的作用而提供了解决受约束质点系动力学问题的一般方法。1758年，欧拉建立刚体的动力学方程，将矢量方法应用于刚体动力学。

动力学的能量方法始于1669年惠更斯在研究碰撞问题时事实上得到活力(动能的两倍)守恒。1686年，莱布尼兹建立动能定理的雏形，导出活力变化与力按距离作用的关系。1807年，杨首先使用了“能量”一词。动能定理的现代形式是在19世纪20年代才由科里奥利明确引入功的概念后才建立的。动力学发展的里程碑是拉格朗日的《分析力学》(1788年初版)，其中总结了从能量观点对受约束质点系运动的研究成果。他引进可完全描述系统运动状态的广义坐标，并建立了用系统动能表示的动力学方程，现在称为拉格朗日方程。拉格朗日的工作的特点是引进标量形式的广义坐标、能量和功，完全摆脱了以矢量为特征的几何方法。应用拉格朗日方程于受约束机械系统可以避免系统内理想约束力的出现，在很大程度上克服矢量方法面临的运动方程中出现大量未知约束力的困难。

19世纪以后，特别是20世纪以来，动力学沿着矢量和能量路径继续发展，但这些内容已经超出理论力学课程的范围。对力学史的全面论述可参见有关专著。

理论力学的发展简史表明，相关力学的研究起源于观测和实验，在发展过程中与数学同步发展，将物理理论系统地表达为数学抽象的简洁形式。理论力学的发展也与工程技术的需求密切相关。

§0.3  理论力学的学习方法

理论力学课程讨论物理现象，具有物理科学的特点；理论力学又与数学中的矢量运算，微积分，线性代数和微分方程关系密切；同时是工程专业后续课的基础。理论力学的基础是物理中的力学部分，因此课程不依赖经验和独立观测。由于系统完整，逻辑严谨，演绎严密，理论力学在一定程度上具有数学课程的特点。同时，理论力学又不是抽象的纯理论学科，而是应用学科。事实上，对多数工科学生而言，理论力学是从纯数理学科过渡到专业课程过程中需要学习的与工程技术有关的第一门力学课程。

基于理论力学的上述特点，学习该课程时应注意下列问题。首先，理论力学系统性强，各部分联系紧密。学习时应循序渐进，及时解决不清楚的问题，以免影响后面内容的理解。其次，积极思考，善于发现问题并及时解决。注意各章的主要内容和重点，主次分明。注意各相关章节间内容和方法上的区别和联系。注意有关公式推导的根据和关键，其物理意义及应用条件和范围。注意有关概念的来源、含义和用途。第三，培养分析和解决问题的能力。特别注重从工程实际中抽象出力学问题，应用理论力学知识对提炼出的力学问题进行数学描述，并求解相应的数学问题。在分析中，既要作定性的分析，又要作定量的计算。最后，做习题是运用理论解决问题的基本训练。做题前应复习有关内容，以达到应有效果。要注意例题的分析方法和解题步骤，从中受到启发，但不能机械地生搬硬套。做题时如果发现有的内容还没有透彻理解，应该再次复习，进一步掌握。推导和计算要一丝不苟，数值计算结果要有恰当的有效数字。这样，通过习题可以较深入地理解和掌握基本概念和基本理论。

如上所述，求解习题是理论力学学习的重要内容。同时，理论力学的习题求解也被大多数学生认为是难点。这里在进一步叙述理论力学习题求解的一般过程。首先，明确研究对象。把所研究的系统从所在的环境中分离出来。在静力学和动力学中，需要画受力图以明确系统受力情况。第二，用数学公式表达描述研究对象特性的物理或几何关系。在静力学中，主要是平衡方程。在运动学中，是运动质点或刚体的运动方程。在动力学中，是动力学方程的矢量或能量表达。用不同的方法可能导出形式不同的数学公式，它们将导致相同的结果，但求解难易程度可能存在差别。第三，求解数学方程。静力学中主要是线性代数方程组，偶尔也涉及非线性代数方程。运动学包括求导运算和矢量方程的求解。动力学中可能涉及代数方程，也可能涉及微分方程，这些方程可能是线性也可能是非线性的。最后，分析结果的物理意义及合理性。如果所得到的不合理，需要重新核对前面3个步骤。总之，一旦将问题清楚地表述，必须严格依据理论力学中的相关原理和公式进行分析而得到问题的解答，在此过程中不需要任何个人直觉和想象力。当然，校核答案时需要常识和个人经验。

只要方法适当，经过不懈的努力，学生完全可以达到理论力学课程的要求：准确理解基本概念，熟悉基本定理和公式并能灵活应用，了解一些力学研究和应用的基本方法。