上世纪初兴起的物理学革命兴起后，既非相对论也非量子论的力学成为经典力学。上世纪50和60年代，经典力学的传统教学内容趋于定型¹。在当时的知识谱系中，经典力学及其所使用的数学工具是后续现代物理课程的不可或缺的重要基础，虽然经典力学本身已经是不再有实质性发展的成熟学科。科学的发展和普及都带有某种不可预测性。到上世纪70年代，经典力学的新进展开始引起人们注意，而不再局限于少数专家。数学工具的完善及新的物理现象的揭示，使得经典力学重新焕发活力成为活跃的研究领域。这就要求经典力学的教学能够体现学科的深刻变化，适应学科发展的需求。从80年代起，基于经典力学新进展而更新教学内容越来越受到重视。整合这些新进展进入教材有两种方式，修订现有教材和编著新教材。在长期教学实践中，已经形成若干经典力学的优秀教材。这些教材长时间广泛使用，已经有了品牌效应。但为了适应知识的发展，这些教材的作者或合作者继续修订。这种以补充和调整的形式所进行的修订，通常增加了教学内容但不改变教材的体系，也不改变原有出来方式的特点。本文研究这种以教材修订形式进行的教学内容更新，为探索欧美理科经典力学教材现代化系列工作的第2部分。首先用通俗和简略的方式说明经典力学新进展及其普及和影响，以此说明教材内容更新的动因；然后分别讨论高级力学课程和中级力学课程教材内容的更新案例，侧重说明新补充内容。至于基于经典力学新的发展状况编著新的教材，以后另文分析。为便于读者阅读，同样版次时优先引用境内版本，有汉译本时也加以说明。

1 经典力学的新进展及其影响概览

上世纪初相对论和量子论为代表的物理学革命之后，经典力学本身也取得了重要进展。最初这些技术性较强的新进展只被少数专家所理解和欣赏。70年代中，一些有影响的著作相继出版，使得经典力学若干新发展的影响超出了相对狭窄的研究者范围，受到更广泛的重视。也是经典力学教学内容更新的主要动因和素材。这些有广泛影响的进展可以简要概括为下列3个方面。

首先是经典力学的代数结构。这方面的最初的起源是数学家Sophus Lie (1842-1899)从单参数变换群角度对微分方程的研究，发展了相应的群表示论。代数结构也与数学家Amalie Emmy Noether (1882-1935)关于对称性和守恒量的深刻结果相关。在上世纪30年代量子力学研究热潮中，Noether教过的学生Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) 成功地把群表示论应用于量子力学的研究。正像量子力学的需求促进了Hamilton力学的发展，群和代数在量子力学中的成功应用也促进了经典力学代数结构的研究。经典力学中本身有丰富的代数结构，例如平移变换和旋转变换都构成Lie群，而Poisson括号可以引入Lie代数。从代数结构入手，能够发现动力学之间的结构相似性，揭示动力学系统的对称性和不变量，并进而发展相应的积分和约化方法。这方面进展引起较广泛重视，或许可以Hamilton力学代数结构方面的研究专著²为代表。

其次是经典力学的几何描述。以微分流形为基本概念的现代整体微分几何发端于数学家Georg F. B. Riemann (1826-1866)的工作，由数学家Elie Gartan (1869-1951)奠定基础。相对论特别是广义相对论的发展，人们认识到物理学与几何学的内在关联。直到上世纪50、60年代，才有Hamilton力学和Lagrange力学的现代微分几何理论。由广义坐标描述的动力学系统的位形空间是光滑微分流形，Hamilton力学和Lagrange力学的相空间分别取为该流形的余切丛和切丛。这样可以用现代微分几何工具简洁和内禀地表述动力学，使得动力学不再依赖于局部坐标系，突破了局部性的局限，可以处理整体的问题。70年代以来，几何描述受到较为广泛的关注，有三部很有专业影响的著作，被誉为近代分析力学中的“圣经”，它们是《动力学系统的结构》³ (1970年法文出版，1998年有英译本⁴)、《经典数学的力学方法》⁵(1974年俄文初版，1978年英译第1版有境内版⁶，第4版有汉译本⁷)和《力学基础》⁸ (1967年初版⁹，1978年第2版，1980年的修订重印境内有影印版，随后几次重印时仍有修改)。

最后也是最引人注目的经典力学的非线性动力学行为特别是混沌研究的兴起。早在十九世纪末数学家Henri Poincaré (1854-1912)就发现，由于初值敏感性，确定性系统可能有类似随机的运动。上世纪50年代，是受弱扰动的近可积Hamilton系统KAM定理，揭示了准周期环面存在条件，这些条件不满足时将出现不具有周期性的运动。上世纪60年代，在电子计算机助力下，数值仿真揭示了耗散系统和保守系统中各种具体的混沌系统的动力学行为。70年代通过对函数迭代的研究发现了进入混沌的路径及其普适性。在70年末已经形成了混沌研究的热潮。混沌及其数学基础在《经典数学的力学方法》⁵和《力学基础》⁸中有一定反映。混沌现象的揭示，与代数结构和几何描述相比，更具有革命性。后两者只是数学工具的发展，混沌则是突出了长期忽略的无限精度的不可能性，进而深化人们对随机、因果等范畴的理解。此外，混沌研究的兴起，使得经典力学的范式有所转变。从强调方程的建立到注重方程的分析，从方程的精确定量求解到方程解的定性特征与数值计算。有些乐观的倡导者，将混沌视为相对论和量子论之后的又一次物理学革命。科学革命往往意味着教材的改写。

这些新进展的广泛传播，让人们认识到经典力学并非只是近代物理的基础，本身仍是在蓬勃发展的学科。这些成果以适当的方式转化为经典力学教学内容，是教材更新的主要动因。但是，教材的变化通常会有一定滞后。1980年出版的Goldstein的《经典力学》第2版¹⁰ (有汉译本¹¹)就是这种审慎态度的例子。作者认为“今日的经典力学远非已封闭的题材，近三十年见证了经典力学新发展的涌现”。但在该书第2版序言中，对于微分几何方法，作者称“看不出它们对本版水平上的经典力学的物理学知识会有什么帮助”。在第11章的文献评述中，针对《力学基础》²¹中的几何描述和定性理论，“微扰运动全局稳定性问题，用该方法颇为有效，似非其他方法所能及。但是在较传统的力学范围，这种语言的表达优点值得怀疑。”尽管如此，随着时间的推移，经典力学的新进展还是以不同的方式转化为教学内容，促进了经典力学教材的现代化。

2 高级力学课程经典力学教材的更新

如前所述²，Goldstein的《经典力学》最早以经典力学为名的高级力学课程教材，并被广泛采用和引用。该书在1980年进行了首次修改扩充推出第2版^{10, 11}，在2002年推出第3版，是目前最新的版本，并在境内出版¹³。在两次再版修订时，都遵循了共同的原则，尽可能保留前一版优点，并在修订时考虑3个因素，学科本身的发展、在课程体系中的地位和在其他领域中的应用。原作者所修订完成的第2版在传统内容方面臻于完美，增加了摄动方法一章，代数结构方面有所补充。作者主动回避了全局分析和微分拓扑这类数学工具，也遗憾地略去了非线性振动和相关的稳定性问题。第3版增加了两位合作者。第2作者Charles P. Poole (1927-2015)于1958年在马里兰大学获得博士学位，1964年起在南卡罗来纳大学物理与天文学系任教，1994年荣休。第3作者John L. Safko于1965年在北卡罗来纳大学获得博士学位，1964年起在南卡罗来纳大学物理与天文学系任教，1965年起任系纪念梅尔顿天文台主任，2001年任杰出教授，2002年荣休。3位作者合作完成的第3版增加了非线性振动和混沌，对原有内容适当精简，以保持总篇幅基本不变。非常可惜的是，第3版删去了第2版增加的每章后面的文献推荐评述，这个内容对读者尤其是教师很有帮助。

第3版¹²最突出的变化是补充了非线性的内容。增加了新的一章“经典混沌”。先从可积保守系统入手，说明了周期运动和准周期运动。进而说明这种准周期运动在小扰动下可以保持的条件，即KAM定理。随后转向耗散系统，引入吸引子的概念，并以van der Pol方程为例说明极限环作为吸引子。接着介绍混沌运动对应的奇怪吸引子，并引入了Lyapunov指数的概念。定义了Poincaré截面映射，较为详细地讨论了Hénon-Heiles振子，用Poincaré截面形象地说明了KAM定理的条件因不可积扰动增加而破坏后所出现的混沌。随后的混沌实例是受简谐激励的阻尼摆，用数值计算展示了倍周期分岔进入混沌的途径。详细讨论的例子还有抛物线迭代，说明了倍周期分岔及其Feigenbaum常数。最后简要介绍了分形和维数，引入了Cantor集和Sierpinsky地毯，并把分形维数定义为Hausdorff维数。除增加有关混沌一章外，把原来“微幅振动”一章改为“振动”，增加了一节非线性振动简介，讨论受常力矩作用阻尼摆。

第3版¹²也加强了近世代数的应用，增加了介绍群和代数基本知识的一个附录。第2版^10,11已经加强了经典力学中代数结构的内容。具体包括，在Hamilton方程一章增加了方程的辛表示，在正则变换一章增加了“正则变换的辛方法”和“力学系统的对称群”两节，在关于连续系统和场一章增加的“Noether定理”一节。这些内容在也第3版¹²有所改进，主要是增加了一些具体的矩阵计算。

传统内容也有些补充和删减。主要的补充是在有心力问题一章中增加了“三体问题”一节。建立了运动微分方程，给出了Euler解和Lagrange解。狭义相对论和连续体和场部分也有调整，因为这些内容现在通常归入其他课程，在此就不赘述了。

总之，《经典力学》第3版¹²的主要更新是增加了非线性振动和混沌的内容，也加强了代数在经典力学中的应用。从被其他专著和教材引用看，第2版仍有广泛影响，似乎并没有被第3版完全替代。

3 中级力学课程经典力学教材的更新

中级力学课程教材内容更新要考虑学生的先修课知识，整合新的进展比更新高级力学课程难度更大。不论是从重要性和可行性考虑，都只能补充混沌的内容。以下以两种多次再版的中级力学课程教材为例进行说明。

3.1 《质点与系统的经典动力学》²⁵

如前所述¹，Marion的《质点和系统的经典动力学》是最有影响的中级力学课程教材之一。原作者Marion去世后出版的第3版(1988年)增加了第2作者Stephen T. Thornton。他在田纳西大学取得博士学位，在维吉尼亚大学任教授。担任校中小学教师综合物理科学项目的负责人，致力于基础教育(K-12)特别是小学初中(K-8)的理科教师培训。Thornton为目前最新的第5版¹³第1作者，已故原作者Marion为第2作者。第5版在教学理念上与第1版完全一致，基本上也保持了原版的特色，更新主要体现在具体内容中。

第5版¹³最主要的变化是把原来的“非线性振动”一章扩充为“非线性振动和混沌”，增加了混沌的内容。从摆开始，说明参激单摆、双摆、悬挂在同一弹性弦上的两个耦合单摆和受多个磁铁吸引的单摆可能存在混沌运动。然后以受迫单摆为例，列出运动微分方程，引入了Poincaré截面映射，说明周期运动和混沌运动的时间历程、相轨迹图和Poincaré映射的特点。接着以抛物线迭代为例说明倍周期分岔进入混沌，以及Feigenbaum常数。最后针对一维映射引入Lyapunov指数以识别混沌。

第5版¹³还有些细节性的变化。把原来的“两质点碰撞的运动学”扩展为“质点系统动力学”。增加了动量定理、动量矩定理和动能定理，使得矢量力学的内容更为完整。还有个补充是在第3版。“刚体动力学”一章增加了刚体平面运动一节，降低了刚体运动学的起点。此外，把原来在“牛顿力学基础”后的“狭义相对论”改为最后一章，这样可以把原来分散的相对论内容如“相对论性Lagrange函数”都集中在一章，使得狭义相对论的内容相对完整。这个改变是在第3版。

总之，《质点和系统的经典动力学》第5版¹³的主要更新是增加了混沌的内容，在理论的完整性方面也有提高。

3.2 《经典力学》¹⁴

如前所述¹，Kibble的《经典力学》是颇有影响的中级力学课程教材。该书最新版本是2004年出版的第5版。从1996年的第4版开始，增加了第2作者。第2作者Frank H. Berkshire曾就读于剑桥大学圣约翰学院，1967年起帝国理工学院数学系任教，1987年起任高级讲师和数学系本科生学习主任，1994年任教学研究员(teaching fellow)，2011年退休后继续担任动力学首席教学研究员(principal teaching fellow)。与第1作者是与Noble奖擦肩而过的顶级理论物理学家不同，第二作者主要从事数学特别是动力学的教学。就经典力学本身而言，该书强调虽然是古老的学科，但仍充满活力。该书还扩展了对经典力学的理解，引入了动力学系统，即随时间变化的过程。应用范围不限于物理学，还包括生物系统等。在正文最后增加两章，所增加3个附录中的后两个也与动力学系统和混沌相关。

“动力学系统及其几何”一章是动力学定性理论的基础。具体包括相空间和相轨迹、1阶系统的相直线、2阶系统的相平面、竞争物种系统和战争、极限环、3阶系统、初值敏感性和可预测性。以非常通俗的方式说明了稳定性、稳定流形、Hopf分岔、Lyapunov指数和混沌等非线性动力学中的重要概念。有多个具体的系统作为例子，如单摆自由振动、Lotka-Volterra猎物-捕食者系统、军备竞赛模型、Rayleigh方程、Brussel振荡器、Lorenz系统、Rikitake双盘发电机模型、受迫阻尼单摆等。与经典力学传统内容直接相关的例子有单自由度保守系统和刚体定点运动的定性分析。

“Hamilton系统中的有序和混沌”一章是Hamilton力学中积分理论的深化和扩展。具体包括可积性、Poincaré截面映射、作用-角度变量、呈现混沌的Hamilton系统、慢变参数与绝热不变量和近可积系统。该章内容循序渐进深入浅出，从最基本的可积性讨论开始，到KAM定理的简介结束。该书提供了多种Hamilton系统混沌实例，包括三体问题、磁场中的带电粒子、陀螺、台球系统、骰子和硬币、摆动的Atwood机器、Hénon-Heiles系统，其中有些例子是取自论文，附有文献出处。该书所列参考书目多少与非线性和非线性相关。

除上述两章外，还有两个新增加的附录与动力学系统相关。附录C进行了平衡点附近的相轨迹分析。附录D讨论了用差分方程描述的离散时间动力学系统。对1维系统，给出了平衡点稳定性的判据，讨论了抛物线迭代的倍周期分岔，进而说明了单峰映射的Feigenbaum常数和周期轨道排序的Sarkovskii序列。对2位系统，以Hénon映射为例说明了奇怪吸引子的几何结构。最后引入扭曲映射，讨论KAM环面的破裂，介绍了Poincaré–Birkhoff定理和Smale马蹄的基本思想。

总之，《经典力学》第5版¹⁴的主要更新是增加了动力学系统定性理论和Hamilton系统混沌的内容，这些新增加内容处理特别出色，选材精当，逻辑清晰，解释透彻，实例丰富。

4 结论

本文考察经典力学内容更新的动因，并分析3部多次再版具有广泛影响教材的修订。有如下结论：

(1) 代数结构、几何描述和动力学行为的研究进展，使得经典力学重新成为蓬勃发展的学科；70年代这些进展的普及，促使经典力学教材侧重的变化和内容的更新。

(2) 不论是高级力学课程教材还是中级力学课程教材，都增加了混沌的内容，但深度和广度都有较大差异，取决于作者的选择，尚没有形成共识。

(3) 高级力学课程教材中还增加了代数结构的讨论，但中级力学课程没有涉及；现代整体微分几何方法在这些修订的教材中还没有体现。

参考文献

1陈立群. 欧美理科经典力学教材的现代化(一)—传统教学内容的形成. 力学与实践, 2023, 45(1): 157-162

 Chen Liqun. Updated materials in European and American classical mechanics textbooks for science majors 1: traditional contents formulated. Mechanics in Engineering, 2022, submitted (in Chinese).

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3 Souriau JM. Structure des Systèmes Dynamiques : Maî trises de Mathématiques. Paris : Dunod, 1970

4 Souriau JM (translated by Cushman-de Vries CH). Structure of Dynamical Systems: A Symplectic View of Physics. Boston: Birkhaeuser, 1998

5 Arnold VI (translated by Vogtmann K and Weinstein A). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1989

6 Arnold VI (translated by Vogtmann K and Weinstein A). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Beijing: World Publishing Corp, 1978

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8 Abraham R, Marsden JE. Foundations of Mechanics: A Mathematical Exposition of Classical Mechanics with an Introduction to the Qualitative Theory of Dynamical Systems and Applications to the Three-body Problem, 2nd ed. Reading: Benjamin/Cummings, 1985

9 Abraham R. Foundations of Mechanics. Reading: Benjamin/Cummings, 1967

10 Goldstein H. Classical Mechanics 2nd ed.. Reading: Addison-Wesley, 1980

11戈德斯坦 H(陈为恂译译). 经典力学, 第2版. 北京: 科学出版社, 1986

12 Goldstein H, Poole CP, Safko JL. Classical Mechanics 3rd ed. Beijing: Higher Education Press, 2005

13 Thornton ST, Marion JB. Classical Dynamics of Particles and Systems 5th ed. Belmont: Thomson Learning, 2004

14 Kibble TWB, Berkshire FH. Classical Mechanics, 5th ed. London: Imperial College Press, 2004.

摘要  本文是研究欧美理科经典力学教材内容更新系列论文的第2篇，阐述经典力学教学内容改革的动因并通过3部教材最新版的分析研究传统教学内容的更新。在上世纪70年代，经典力学的代数结构、几何描述和混沌运动的研究受到广泛关注，经典力学重新成为蓬勃发展的学科。这使得经典力学教材内容有必要进行更新。教材内容更新的一种途径是修订时补充新的内容。3部广泛采用的经典力学教材的最新修订都引入了混沌动力学的内容。代数结构的内容只整合进入适用于高级力学课程的教材，而整体微分几何的应用还没有进入经典力学教材。

关键词  力学教育，教材，经典力学，物理，力学史

中图分类号：O31     文献标志码：A      doi：10.6052/1000-0879-22-xxx

UPDATED MATERIALS IN EUROPEAN AND AMERICAN CLASSICAL MECHANICS TEXTBOOKS FOR SCIENCE MAJORS 2: TRADITIONAL CONTENTS REVISED

Abstract  As the second part of a investigation on the content update of European and American classic mechanics textbooks for science majors, this manuscript expounds the motivation of to reform classical mechanics teaching contents and explores the update of traditional teaching contents via the analysis on the latest editions of 3 textbooks. In the 1970s, the advances in algebraic structures, geometric descriptions and chaotic motions of classical mechanics received extensive attentions. Classical mechanics becomes a flourishing discipline. Therefore it is necessary to update the content of classic mechanics textbooks. One way to update textbooks is to integrate new materials in revised versions. Actually chaotic dynamics is introduced into the latest revisions of the three reprinted and widely used classical mechanics textbooks. However, algebraic structures of classical mechanics has only integrated into a textbook for advanced mechanics courses, while global differential geometry has not yet been incorporated into classic mechanics textbooks.

Key words  mechanics education, textbook, classical mechanics, physics, history of mechanics

发表于《力学与实践》2023, 45(2): 418-422  网页版   PDF版   公众号版